Pour l'optimisation mathématique ou le callage de paramètres, le même problème modélisé par des équations aux dérivées partielles dépendant de paramètres doit être résolu de nombreuses fois. La méthode des bases réduites peut être très performante dans ce cadre et des progrès récents ont permis de la fiabiliser, d'étendre ses applications à des problèmes très non linéaires et d'augmenter le cadre de celle-ci. Dans un contexte industriel par contre, il n'est parfois pas possible de rentrer suffisamment dans le code (par exemple de type éléments finis utilisés pour calculer les élements des bases réduites) pour intégrer tous les calculs « hors lignes » nécessaires à la mise en oeuvre performante de la méthode. Nous proposons ici une approche alternative qui combine un argument de sous-grille d'éléments finis et d'en accélérer la convergence grâce à des arguments de bases réduites.
In the frame of mathematical optimization procedures or parameter fitting the same problem, modeled with partial differential equations depending on a parameter has to be solved many times for different sets of parameters. The reduced basis method may be successful in this frame and recent progress have permitted to make the computations reliable thanks to a posteriori estimators and to extend the method to non linear problems thanks to the “magic points” interpolation. However, in an industrial context, it may not be possible to use the code (for example of finite element type that allows for evaluating the elements of the reduced basis) to perform all the “off-line” computations necessary for an efficient performance of the reduced basis method. We propose here an alternating approach based on a coarse grid finite element the convergence of which is accelerated through the reduced basis.
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Chakir, Rachida; Maday, Yvon. Une méthode combinée d'éléments finis à deux grilles/bases réduites pour l'approximation des solutions d'une E.D.P. paramétrique. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 7-8, pp. 435-440. doi : 10.1016/j.crma.2009.02.019. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.02.019/
[1] Efficient reduced-basis treatment of nonaffine and nonlinear partial differential equations, Modélisation mathématique et analyse numérique, Volume 41 (2007) no. 3, pp. 575-605
[2] Y. Maday, Reduced basis method for the rapid and reliable solution of partial differential equations, in: International Congress of Mathematicians, vol. III, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 1255–1270
[3] Reliable real-time solution of parametrized partial differential equations: Reduced-basis output bound methods, J. Fluids Engineering, Volume 124 (2002), pp. 70-80
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