Analyse numérique
Un problème d'optimisation de forme pour la contrôlabilité exacte de l'équation des ondes 2D
[Optimal design of the support of the control for the 2D wave equation]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 3, pp. 213-218.

We consider the wave equation defined on ΩR2 and ωΩ. We designate by vω the distributed control of minimal L2(ω×(0,T)) norm obtained with the Hilbert Uniqueness Method which stabilizes the system at time T>0. This Note addresses the question of the optimal position of ω in order to minimize J:ωvωL2(ω×(0,T)). Assuming ωC1,1(Ω), we express the shape derivative of J as a curvilinear integral on ∂ω (independently of any adjoint solution) leading to a descent algorithm. A numerical application is given.

On considère l'équation des ondes homogène posée sur ΩR2 et ωΩ. On désigne par vω le contrôle distribué de norme L2(ω×(0,T)) minimale obtenu par la méthode HUM et stabilisant le système à l'instant T>0. Cette Note adresse la question de la position optimale du support ω miniminisant J:ωvωL2(ω×(0,T)). Supposant ωC1,1(Ω), on exprime la dérivée de forme de J en terme d'une intégrale curviligne sur ∂ω (indépendamment de toute solution adjointe) permettant de mettre en place un algorithme de gradient. Une application numérique est donnée.

Received:
Accepted:
Published online:
DOI: 10.1016/j.crma.2006.06.015
Münch, Arnaud 1

1 Laboratoire de mathématiques de Besançon, UMR CNRS 6623, 16, route de Gray, 25030 Besançon cedex, France
@article{CRMATH_2006__343_3_213_0,
     author = {M\"unch, Arnaud},
     title = {Un probl\`eme d'optimisation de forme pour la contr\^olabilit\'e exacte de l'\'equation des ondes {2D}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {213--218},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {343},
     number = {3},
     year = {2006},
     doi = {10.1016/j.crma.2006.06.015},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.06.015/}
}
TY  - JOUR
AU  - Münch, Arnaud
TI  - Un problème d'optimisation de forme pour la contrôlabilité exacte de l'équation des ondes 2D
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2006
SP  - 213
EP  - 218
VL  - 343
IS  - 3
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.06.015/
DO  - 10.1016/j.crma.2006.06.015
LA  - fr
ID  - CRMATH_2006__343_3_213_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Münch, Arnaud
%T Un problème d'optimisation de forme pour la contrôlabilité exacte de l'équation des ondes 2D
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2006
%P 213-218
%V 343
%N 3
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.06.015/
%R 10.1016/j.crma.2006.06.015
%G fr
%F CRMATH_2006__343_3_213_0
Münch, Arnaud. Un problème d'optimisation de forme pour la contrôlabilité exacte de l'équation des ondes 2D. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 3, pp. 213-218. doi : 10.1016/j.crma.2006.06.015. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.06.015/

[1] Allaire, G.; Jouve, F.; Toader, A.M. Structural optimization using sensitivity analysis and level-set methods, J. Comput. Phys., Volume 194 (2004) no. 1, pp. 363-393

[2] Asch, M.; Lebeau, G. Geometrical aspects of exact controllability for the wave equation, COCV, Volume 3 (1998), pp. 163-212

[3] Burq, N.; Gérard, P. Condition nécessaire et suffisante pour la contrôlabilité exacte des ondes, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 325 (1997), pp. 749-752

[4] Cea, J. Conception optimale ou identification de formes, calcul rapide de la dérivée directionnelle de la fonction coût, Math. Model. Num. Anal., Volume 20 (1986) no. 3, pp. 371-402

[5] Delfour, M.C.; Zolesio, J.P. Shapes and Geometries – Analysis, Differential Calculus and Optimization, Advances in Design and Control, SIAM, 2001

[6] Glowinski, R.; Lions, J.L. Exact and approximate controllability for distributed parameter systems, Acta Numer. (1996), pp. 159-333

[7] Lions, J.L. Contrôlabilité exacte, stabilisation et perturbations de systèmes distribués, Tome 1, Masson, Paris, 1988

[8] Münch, A. A uniformly controllable and implicit scheme for the 1-D wave equation, M2AN, Volume 39 (2005) no. 2, pp. 377-418

[9] A. Münch, An implicit scheme uniformly controllable for the 2-D wave equation, J. Sci. Comput., in press

[10] A. Münch, Optimal design of the support of the control for the 2-D wave equation: numerical investigations, Prépublication du laboratoire de Mathématiques de Besancon, 2006/19

[11] Zuazua, E. Propagation, observation, control and numerical approximation of waves approximated by finite difference methods, SIAM Rev., Volume 47 (2005) no. 2, pp. 197-243

Cited by Sources: