Problèmes mathématiques de la mécanique
Stabilité de solutions faibles globales pour les équations de Navier–Stokes compressible avec température
[Stability of global weak solutions for the Navier–Stokes equations modelling compressible and heat conducting fluids]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 3, pp. 219-224.

We present a global in time stability result for sequences of weak solutions ‘à la Leray’ to the Navier–Stokes equations modelling viscous compressible heat conducting fluids in the whole space R3 (or in the box T3=[0,2π]3 with periodic boundary conditions) with arbitrary large initial data. Specific assumptions are made on the density and temperature dependence of the thermal conduction κ and the viscosity coefficients λ and μ in order to preserve a particular conservation property discovered by the authors. The underlying mathematical structure is the key ingredient to get additional information on the density which allows to define weak solutions and get strong compactness results needed on the temperature. The equation of state is assumed to be the perfect polytropic gas law with an additional zero isothermal component that plays a role only for small density. Our result extends the work of P.-L. Lions restricted to barotropic flows obtained in 1993. Note that approximate solutions construction process, i.e. sequences of suitable smooth approximate solutions, is explained elsewhere.

Nous présentons un résultat de stablité globale en temps de suites de solutions faibles « à la Leray » des équations de Navier–Stokes compressibles modélisant un fluide visqueux conducteur de chaleur dans le cas de l'espace entier R3 (ou dans un domaine T3=[0,2π]3 avec conditions aux limites périodiques) pour des données initiales arbitrairement grandes. Des hypothèses sont faites sur la dépendance en densité et température de la condutivité thermique κ et des coefficients de viscosité λ et μ, qui assurent des propriétés importantes de conservation déjà mises en évidence par les auteurs. L'équation d'état est supposée celle d'un gaz parfait polytropique, à laquelle on ajoute une composante de pression et d'énergie interne à température nulle, qui ne joue un rôle que pour les faibles densités. Notre résultat complète celui de P.-L. Lions, restreint aux écoulements barotropes.

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DOI: 10.1016/j.crma.2006.05.016
Bresch, Didier 1; Desjardins, Benoît 2, 3

1 LMC-IMAG UMR5223, 51, rue des mathématiques, B.P. 53, 38041 Grenoble, France
2 CEA/DIF, B.P. 12, 91680 Bruyères le Châtel, France
3 DMA E.N.S. Ulm, 45, rue d'Ulm, 75230 Paris cedex 05, France
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Bresch, Didier; Desjardins, Benoît. Stabilité de solutions faibles globales pour les équations de Navier–Stokes compressible avec température. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 3, pp. 219-224. doi : 10.1016/j.crma.2006.05.016. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.05.016/

[1] Bresch, D.; Desjardins, B. Existence of global weak solutions for a 2D viscous shallow water equations and convergence to the quasi-geostrophic model, Comm. Math. Phys., Volume 238 (2003) no. 1–2, pp. 211-223

[2] Bresch, D.; Desjardins, B. Some diffusive capillary models of Korteweg type, C. R. Mecanique, Volume 332 (2004) no. 11, pp. 881-886

[3] D. Bresch, B. Desjardins, On the existence of global weak solutions to the Navier–Stokes equations for viscous compressible and heat conducting fluids, (2005), submitted for publication

[4] D. Bresch, B. Desjardins. On the construction of approximate solutions for the 2D viscous shallow water model and for compressible Navier–Stokes models. J. Math. Pures Appl. (2006), in press

[5] Bresch, D.; Desjardins, B.; Lin, C.K. On some compressible fluid models: Korteweg, lubrication and shallow water systems, Comm. Partial Differential Equations, Volume 28 (2003) no. 3–4, pp. 1009-1037

[6] Feireisl, E. On the motion of a viscous, compressible, and heat conducting fluid, Indiana Univ. Math. J., Volume 53 (2004), pp. 1707-1740

[7] Feireisl, E. Dynamics of Viscous Compressible Fluids, Oxford Science Publication, Oxford, 2004

[8] Leray, J. Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace, Acta Math., Volume 63 (1934), pp. 193-248

[9] Lions, P.-L. Compacité des solutions des équations de Navier–Stokes compressibles isentropiques, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, Volume 317 (1993), pp. 115-120

[10] Lions, P.-L. Mathematical Topics in Fluid Dynamics, vol. 2, Compressible Models, Oxford Science Publication, Oxford, 1998

[11] A. Mellet, A. Vasseur, On the isentropic compressible Navier–Stokes equation, (2005), submitted for publication

Cited by Sources: