Reiterated homogenization for elliptic operators

Meunier, Nicolas; Van Schaftingen, Jean

doi:10.1016/j.crma.2004.10.026

Partial Differential Equations

Reiterated homogenization for elliptic operators
[Homogénéisation réitérée pour des opérateurs elliptiques]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Meunier, Nicolas ¹ ; Van Schaftingen, Jean ²

¹ Laboratoire Jacques-Louis Lions, université Pierre et Marie Curie, 175, rue du Chevaleret, Paris 75013, France
² Département de mathématique, université catholique de Louvain, 2, chemin du Cyclotron, B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgique

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 3, pp. 209-214.

Résumé
Abstract

. Dans cette note, on étudie, en utilisant la méthode d'éclatement périodique (voir D. Cioranescu et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (1) (2002) 99–104), l'homogénéisation réitérée pour des équations de la forme $- div (a_{ε} (x, D u_{ε})) = f$ , où $a_{ε}$ est de Carathéodory et satisfait des conditions de monotonie et de croissance. On montre que si l'on suppose la convergence de $T_{δ (ε)}^{'} (T_{ε} (a_{ε})) (x, y, z, ξ)$ , pour presque tout $(x, y, z) \in Ω \times Y \times Z$ , vers un opérateur de Carathéodory, alors les suites $u_{ε}$ et $D u_{ε}$ convergent dans un certain sens vers la solution $(u_{0}, \hat{u}, \tilde{u})$ d'un problème variationnel limite, quand $ε \to 0$ . Ce résultat s'applique en particulier au cas $a_{ε} (x, ξ) = a (x, \frac{x}{ε}, \frac{{x / ε}_{Y}}{δ (ε)}, ξ)$ , où a est periodique par rapport aux deuxième et troisième variables, et continue par rapport à chaque variable.

In this Note, using the periodic unfolding method (see D. Cioranescu et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (1) (2002) 99–104), we study reiterated homogenization for equations of the form $- div (a_{ε} (x, D u_{ε})) = f$ , where $a_{ε}$ is Carathéodory and satisfies some monotone and growth conditions. We show that if we assume that $T_{δ (ε)}^{'} (T_{ε} (a_{ε})) (x, y, z, ξ)$ converges, for almost all $(x, y, z) \in Ω \times Y \times Z$ , to a Carathéodory operator, then the sequences $u_{ε}$ and $D u_{ε}$ converge in a certain sense to the solution $(u_{0}, \hat{u}, \tilde{u})$ of a limit variational problem, as $ε \to 0$ . In particular this contains the case $a_{ε} (x, ξ) = a (x, \frac{x}{ε}, \frac{{x / ε}_{Y}}{δ (ε)}, ξ)$ , where a is periodic in the second and third arguments, and continuous in each argument.

Reçu le : 2004-09-28
Accepté le : 2004-10-20
Publié le : 2005-01-08

DOI : 10.1016/j.crma.2004.10.026

Affiliations des auteurs :

Meunier, Nicolas ¹ ; Van Schaftingen, Jean ²

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Meunier, Nicolas; Van Schaftingen, Jean. Reiterated homogenization for elliptic operators. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 3, pp. 209-214. doi : 10.1016/j.crma.2004.10.026. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.10.026/

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