On logarithmic Sobolev inequalities for higher order fractional derivatives

Cotsiolis, Athanase; Tavoularis, Nikolaos K.

doi:10.1016/j.crma.2004.11.030

Partial Differential Equations

On logarithmic Sobolev inequalities for higher order fractional derivatives
[Sur les inégalités de Sobolev logarithmiques pour les dérivées fractionnelles d'ordre supérieur]

Présenté par : Thierry Aubin

Cotsiolis, Athanase ¹ ; Tavoularis, Nikolaos K.¹

¹ Department of Mathematics, University of Patras, Patras 26110, Greece

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 3, pp. 205-208.

Résumé
Abstract

Sur $R^{n}$ , on établi l'existence d'inégalités de Sobolev logarithmiques optimales pour les dérivées fractionnelles d'ordre supérieur. Soit s et α deux réels positifs. Pour toute fonction f ∈ $H^{s} (R^{n})$ , on établit l'inégalité suivante :

\int_{R^{n}} | f (x) |^{2} \ln (\frac{{| f (x) |}^{2}}{‖ f ‖_{2}^{2}}) d x + (n + \frac{n}{s} \ln α + \ln \frac{s Γ (\frac{n}{2})}{Γ (\frac{n}{2 s})}) ‖ f ‖_{2}^{2} ⩽ \frac{α^{2}}{π^{s}} ‖ {(- Δ)}^{s / 2} f ‖_{2}^{2} .

L'opérateur

{(- Δ)}^{s / 2}

est defini dans les espaces de Fourier par

\hat{{(- Δ)}^{s / 2} f} (k) : = {(2 π | k |)}^{s} \hat{f} (k)

On $R^{n}$ , we prove the existence of sharp logarithmic Sobolev inequalities with higher fractional derivatives. Let s be a positive real number. Any function f ∈ $H^{s} (R^{n})$ satisfies

\int_{R^{n}} | f (x) |^{2} \ln (\frac{{| f (x) |}^{2}}{‖ f ‖_{2}^{2}}) d x + (n + \frac{n}{s} \ln α + \ln \frac{s Γ (\frac{n}{2})}{Γ (\frac{n}{2 s})}) ‖ f ‖_{2}^{2} ⩽ \frac{α^{2}}{π^{s}} ‖ {(- Δ)}^{s / 2} f ‖_{2}^{2}

with

α > 0

be any number and where the operators

{(- Δ)}^{s / 2}

in Fourier spaces are defined by

\hat{{(- Δ)}^{s / 2} f} (k) : = {(2 π | k |)}^{s} \hat{f} (k)

Reçu le : 2004-10-18
Accepté le : 2004-11-16
Publié le : 2005-01-11

DOI : 10.1016/j.crma.2004.11.030

Affiliations des auteurs :

Cotsiolis, Athanase ¹ ; Tavoularis, Nikolaos K. ¹

¹ Department of Mathematics, University of Patras, Patras 26110, Greece

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     author = {Cotsiolis, Athanase and Tavoularis, Nikolaos K.},
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AU  - Cotsiolis, Athanase
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Cotsiolis, Athanase; Tavoularis, Nikolaos K. On logarithmic Sobolev inequalities for higher order fractional derivatives. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 3, pp. 205-208. doi : 10.1016/j.crma.2004.11.030. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.11.030/

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Cité par Sources :