Borel, J.-P.
Sur certains ensembles normaux
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 1 (1989) no. 1 , p. 67-79
Zbl 0719.11044 | MR 1050266
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1989__1_1_67_0

Classification:  11K06
Mots clés: ensembles normaux, répartition modulo 1
Λ étant une suite de nombres réels, soit B(Λ) l’ensemble normal associé. Pour A, nous étudions la question : existe-t-il une suite Λ à valeurs dans un intervalle borné I telle que A=B(Λ) ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle I. Dans les cas les plus simples, où A, ce problème se ramène à minimiser le degré de Q[X], avec la contrainte «PQ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes P de type très particulier associés aux ensembles A.
Let Λ be a sequence of real numbers and B(Λ) the associated normal set, i.e. the set of all real numbers x such that xΛ is uniformely distributed modulo one. Our main problem is the following : for a given A, does there exist a bounded sequence Λ such that A=B(Λ)? In some particular cases, when A, we give an estimate of the minimal length of a bounded subinterval I of in which Λ can be taken. We prove that to obtain such an estimate, we have to study the following problem on polynomials : for a given polynomial P with no positive root, find the minimal degree δQ of those polynomials Q such that the product P.Q has only positive coefficients.

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