Les théorèmes de Leray et de Fujita-Kato pour le système de Boussinesq partiellement visqueux  [ The Leray and Fujita-Kato theorems for the Boussinesq system with partial viscosity ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 136 (2008) no. 2, p. 261-309

We are concerned with the so-called Boussinesq equations with partial viscosity. These equations consist of the ordinary incompressible Navier-Stokes equations with a forcing term which is transported with no dissipation by the velocity field. Such equations are simplified models for geophysics (in which case the forcing term is proportional either to the temperature, or to the salinity or to the density). In the present paper, we show that the standard theorems for incompressible Navier-Stokes equations may be extended to Boussinesq system despite the fact that there is no dissipation or decay at large time for the forcing term. More precisely, we state the global existence of finite energy weak solutions in any dimension, and global well-posedness in dimension N3 for small data. In the two-dimensional case, the finite energy global solutions are shown to be unique for any data in L 2 ( 2 ).

Dans cet article, on étudie le système de Boussinesq décrivant le phénomène de convection dans un fluide incompressible et visqueux. Ce système est composé des équations de Navier-Stokes incompressibles avec un terme de force verticale dont l'amplitude est transportée sans dissipation par le flot du champ de vitesses. On montre que les résultats classiques pour le système de Navier-Stokes standard demeurent vrais pour le système de Boussinesq bien qu’il n’y ait pas d’amortissement sur le terme de force. Plus précisément, on établit l’existence de solutions faibles globales d’énergie finie en n’importe quelle dimension et l’existence de solutions fortes uniques globales en dimension N3 pour de petites données initiales. Dans le cas particulier de la dimension deux, les solutions d’énergie finie sont uniques pour n’importe quelle donnée initiale dans L 2 ( 2 ).

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2557
Classification:  35Q35,  76N10,  35B65,  76D99
Keywords: Boussinesq system, weak solutions, losing estimates, critical regularity
@article{BSMF_2008__136_2_261_0,
     author = {Danchin, Rapha\"el and Paicu, Marius},
     title = {Les th\'eor\`emes de Leray et de Fujita-Kato pour le syst\`eme de Boussinesq partiellement visqueux},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {136},
     number = {2},
     year = {2008},
     pages = {261-309},
     doi = {10.24033/bsmf.2557},
     zbl = {1162.35063},
     mrnumber = {2415344},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/BSMF_2008__136_2_261_0}
}
Danchin, Raphaël; Paicu, Marius. Les théorèmes de Leray et de Fujita-Kato pour le système de Boussinesq partiellement visqueux. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 136 (2008) no. 2, pp. 261-309. doi : 10.24033/bsmf.2557. http://www.numdam.org/item/BSMF_2008__136_2_261_0/

[1] H. Abidi & T. Hmidi - « On the global well-posedness for Boussinesq system », J. Differential Equations 233 (2007), p. 199-220. | MR 2290277 | Zbl 1111.35032

[2] H. Bahouri & J.-Y. Chemin - « Équations de transport relatives à des champs de vecteurs non-lipschitziens et mécanique des fluides », Arch. Rational Mech. Anal. 127 (1994), p. 159-181. | MR 1288809 | Zbl 0821.76012

[3] J.-M. Bony - « Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires », Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 14 (1981), p. 209-246. | Numdam | MR 631751 | Zbl 0495.35024

[4] M. Cannone, Y. Meyer & F. Planchon - « Solutions auto-similaires des équations de Navier-Stokes », in Séminaire sur les Équations aux Dérivées Partielles, 1993-1994, exp. no VIII, 12, École Polytech., 1994. | Numdam | MR 1300903 | Zbl 0882.35090

[5] D. Chae - « Global regularity for the 2D Boussinesq equations with partial viscosity terms », Adv. Math. 203 (2006), p. 497-513. | MR 2227730 | Zbl 1100.35084

[6] J.-Y. Chemin - « Fluides parfaits incompressibles », Astérisque 230. | Zbl 0829.76003

[7] -, « Remarques sur l'existence globale pour le système de Navier-Stokes incompressible », SIAM J. Math. Anal. 23 (1992), p. 20-28. | MR 1145160 | Zbl 0762.35063

[8] -, « Théorèmes d'unicité pour le système de Navier-Stokes tridimensionnel », J. Anal. Math. 77 (1999), p. 27-50. | MR 1753481 | Zbl 0938.35125

[9] -, « Le système de Navier-Stokes incompressible soixante dix ans après Jean Leray », in Actes des Journées Mathématiques à la Mémoire de Jean Leray, Sémin. Congr., vol. 9, Soc. Math. France, 2004, p. 99-123. | MR 2145938 | Zbl 1075.35035

[10] J.-Y. Chemin & N. Lerner - « Flot de champs de vecteurs non lipschitziens et équations de Navier-Stokes », J. Differential Equations 121 (1995), p. 314-328. | MR 1354312 | Zbl 0878.35089

[11] D. Córdoba, C. Fefferman & R. De La Llave - « On squirt singularities in hydrodynamics », SIAM J. Math. Anal. 36 (2004), p. 204-213. | MR 2083858 | Zbl 1078.76018

[12] R. Danchin - « Density-dependent incompressible viscous fluids in critical spaces », Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 133 (2003), p. 1311-1334. | MR 2027648 | Zbl 1050.76013

[13] -, « Estimates in Besov spaces for transport and transport-diffusion equations with almost Lipschitz coefficients », Rev. Mat. Iberoamericana 21 (2005), p. 863-888. | MR 2231013 | Zbl 1098.35038

[14] -, « On the uniqueness in critical spaces for compressible Navier-Stokes equations », NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 12 (2005), p. 111-128. | MR 2138937 | Zbl 1125.76061

[15] -, « Uniform estimates for transport-diffusion equations », J. Hyperbolic Differ. Equ. 4 (2007), p. 1-17. | MR 2303473 | Zbl 1117.35012

[16] W. E & C.-W. Shu - « Small-scale structures in Boussinesq convection », Phys. Fluids 6 (1994), p. 49-58. | MR 1252833 | Zbl 0822.76087

[17] H. Fujita & T. Kato - « On the Navier-Stokes initial value problem. I », Arch. Rational Mech. Anal. 16 (1964), p. 269-315. | MR 166499 | Zbl 0126.42301

[18] T. Hmidi & S. Keraani - « Incompressible viscous flows in borderline Besov spaces », à paraître dans Archive for Rational Mechanics and Analysis. | Zbl 1147.76014

[19] -, « On the global well-posedness of the two-dimensional Boussinesq system with a zero diffusivity », Adv. Differential Equations 12 (2007), p. 461-480. | MR 2305876 | Zbl 1154.35073

[20] T. Y. Hou & C. Li - « Global well-posedness of the viscous Boussinesq equations », Discrete Contin. Dyn. Syst. 12 (2005), p. 1-12. | MR 2121245 | Zbl 1274.76185

[21] T. Kato - « Strong L p -solutions of the Navier-Stokes equation in m , with applications to weak solutions », Math. Z. 187 (1984), p. 471-480. | MR 760047 | Zbl 0545.35073

[22] P. G. Lemarié-Rieusset - Recent developments in the Navier-Stokes problem, Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics, vol. 431, Chapman & Hall/CRC, 2002. | MR 1938147 | Zbl 1034.35093

[23] J. Leray - « Essai sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace », Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 13 (1934), p. 331-418. | JFM 60.0727.01

[24] -, « Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace », Acta Math. 63 (1934), p. 193-248. | JFM 60.0726.05 | MR 1555394

[25] J.-L. Lions & G. Prodi - « Un théorème d'existence et unicité dans les équations de Navier-Stokes en dimension 2 », C. R. Acad. Sci. Paris 248 (1959), p. 3519-3521. | MR 108964 | Zbl 0091.42105

[26] Y. Meyer - « Wavelets, paraproducts, and Navier-Stokes equations », in Current developments in mathematics, 1996 (Cambridge, MA), Int. Press, Boston, MA, 1997, p. 105-212. | MR 1724946 | Zbl 0926.35115

[27] J. Pedlosky - Geophysical fluid dynamics, Springer, 1987. | Zbl 0713.76005

[28] T. Runst & W. Sickel - Sobolev spaces of fractional order, Nemytskij operators, and nonlinear partial differential equations, de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 3, Walter de Gruyter & Co., 1996. | MR 1419319 | Zbl 0873.35001

[29] R. Salmon - Lectures on geophysical fluid dynamics, Oxford University Press, 1998. | MR 1718369

[30] O. Sawada & Y. Taniuchi - « On the Boussinesq flow with nondecaying initial data », Funkcial. Ekvac. 47 (2004), p. 225-250. | MR 2108674 | Zbl 1118.35037

[31] M. Vishik - « Hydrodynamics in Besov spaces », Arch. Ration. Mech. Anal. 145 (1998), p. 197-214. | MR 1664597 | Zbl 0926.35123