Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés
Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 1, pp. 1-66.

Pour l premier impair, l’étude du l-groupe des classes d’idéaux des extensions abéliennes de degré premier à l se ramène à celle de groupes notés H φ , où φ parcourt un certain ensemble de caractères l-adiques irréductibles.

Il est démontré, dans cet article, une généralisation des congruences de Leopoldt et Fresnel entre les fonctions L l l-adiques et les nombres de Bernoulli généralisés. Cette généralisation conduit à une amélioration de la connaissance des H φ  : en effet, la juxtaposition de ce résultat avec les résultats classiques (formule analytique du nombre de classes, théorème de Stickelberger et “Spiegelungssatz” de Leopoldt) permet de déterminer, dans un certain nombre de cas particuliers, la structure de H φ et de vérifier, sous certaines hypothèses, l’existence d’un lien non trivial entre cette structure et certains invariants (calculables dans la pratique) définis uniquement à partir des formules analytiques du nombre de classes.

For an odd prime number l, the study of the l-class group of abelian extensions, the degree of which is prime to l, is equivalent to the study of groups H φ , where φ ranges over a set of irreducible l-adic characters.

It is proved, in this paper, a generalisation of the Leopoldt and Fresnel’s congruences between l-adic L l l-functions and generalised Bernoulli numbers. This generalisation gives an improvement of the knowledge of the H φ : the juxtaposition of this result with the classic ones (analytic class-number formula, Stickelberger’s theorem and “Spiegelungssatz” by Leopoldt) allows the determination, in some particular cases, of the structure of H φ and the proof, under some hypothesis, of the existence of a non trivial connexion between this structure and some invariants (calculable in the practise) which are defined uniquely with the help of the analytic class-number formula.

@article{AIF_1977__27_1_1_0,
     author = {Gras, Georges},
     title = {Classes d'id\'eaux des corps ab\'eliens et nombres de {Bernoulli} g\'en\'eralis\'es},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1--66},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {27},
     number = {1},
     year = {1977},
     doi = {10.5802/aif.641},
     mrnumber = {56 #8534},
     zbl = {0336.12004},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.641/}
}
TY  - JOUR
AU  - Gras, Georges
TI  - Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1977
SP  - 1
EP  - 66
VL  - 27
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.641/
DO  - 10.5802/aif.641
LA  - fr
ID  - AIF_1977__27_1_1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Gras, Georges
%T Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1977
%P 1-66
%V 27
%N 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.641/
%R 10.5802/aif.641
%G fr
%F AIF_1977__27_1_1_0
Gras, Georges. Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés. Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 1, pp. 1-66. doi : 10.5802/aif.641. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.641/

[1] Z.I. Borevitch et I.R. Chafarevitch, Théorie des Nombres, Gauthier-Villars, Paris (1967). | MR | Zbl

[2] A. Brumer, Travaux récents d'Iwasawa et de Leopoldt, Séminaire Bourbaki 325 (1967). | Numdam | Zbl

[3] J. Coates and S. Lichtenbaum, On ℓ-adic Zeta functions, Ann. of Math., 98 (1973), 498-550. | MR | Zbl

[4] J. Fresnel, Nombres de Bernoulli et fonctions L p-adiques, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 17, 2 (1967), 281-333. | Numdam | MR | Zbl

[5] J. Fresnel, Applications arithmétiques de la formule p-adique des résidus, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 18 (1966-1967), 1-8. | Numdam | Zbl

[6] E. Gallou, Sur le rang du p-groupe des classes relatives des corps Q(p), Séminaire de théorie des Nombres, Grenoble (1972).

[7] R. Gillard, Relations de Stickelberger, Séminaire de théorie des Nombres, Grenoble (1974).

[8] G. Gras et M.N. Gras, Signature des unités cyclotomiques et parité du nombre de classes des extensions cycliques de Q de degré premier impair, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 25, 1 (1975), 1-22. | Numdam | MR | Zbl

[9] G. Gras, Critère de parité du nombre de classes des extensions abéliennes réelles de Q de degré impair, Bull. Soc. Math. de France, 103 (1975), 177-190. | Numdam | MR | Zbl

[10] M.N. Gras, Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cubiques cycliques de Q, Jour. für die reine und ang. Math., 277 (1975), 89-116. | MR | Zbl

[11] G. Gras et M.N. Gras, Calcul du nombre de classes et des unités des extensions abéliennes réelles de Q, Publ. Math. de l'Univ. de Besançon (Théorie des Nombres) 1974-1975. | Zbl

[12] R. Greenberg, On p-adic L-Functions and cyclotomic Fields, Nagoya Math. J., 56 (1974), 61-77. | MR | Zbl

[13] H. Hasse, Über die Klassenzahl abelscher Zahlkörper, Berlin (1952). | Zbl

[14] H. Hasse, Vorlesungen über Zahlentheorie, Berlin (1950). | Zbl

[15] H. Hasse, Zur Arbeit von I.R. Šafarevič über das allgemeine Reziprozitätsgesetz, Math. Nach., (1951), 301-327. | MR | Zbl

[16] T. Kubota und H.W. Leopoldt, Eine p-adische theorie der Zetawerte ; I Einführung der p-adischer Dirichletschen, L-Funktionen, Jour. für die reine und ang. Math., 214/215 (1964), 328-339. | MR | Zbl

[17] A. Kudo, On a class number relation of imaginary abelian fields, J. Math. Soc. Japan, 27, 1 (1975). | MR | Zbl

[18] S. Lang, Algebraic Number Theory, New-York (1970). | MR | Zbl

[19] H.W. Leopoldt, Über Einheitengruppe und Klassenzahl reeller abelscher Zahlköper, Abh. Deutsche Akad. Wiss. Berlin, Math., 2 (1954). | Zbl

[20] H.W. Leopoldt, Eine Verallgemeinerung der Bernoullishen Zahlen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 22 (1958), 131-140. | MR | Zbl

[21] H.W. Leopoldt, Über Fermatquotienten von Kreisenheiten und Klassenzahlformeln modulo p, Rend. Cir. mat. Palermo, Serie 2, 9 (1960), 39-50. | MR | Zbl

[22] H.W. Leopoldt, Über Klassenzahlprimteiler reeller abelscher Zahlkörper als Primteiler verallgemeinerter Bernoullischen Zahlen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 23 (1959), 36-47. | MR | Zbl

[23] H.W. Leopoldt, Zur Struktur der ℓ-Klassengruppe galoisscher Zahlkörper, Jour. für die reine und ang. Math., 199 (1958), 165-174. | MR | Zbl

[24] H.W. Leopoldt, Zur Arithmetik in abelschen Zahlkörpern, Jour. für die reine und ang. Math., 209 (1962), 54-71. | MR | Zbl

[25] B. Oriat, Relation entre les 2-groupes des classes d'idéaux au sens ordinaire et restrient de certains corps de nombres, Bull. Soc. Math. France, 104 (1976), 301-307. | Numdam | MR | Zbl

[26] B. Oriat, Traduction française de "Über Einheitengruppe und Klassenzahl reeller abelscher Zahlkörper" de Leopoldt, Publ. Math. de l'Univ. de Besançon (Théorie des Nombres) 1974-1975.

[27] B. Oriat, Quelques caractères utiles à l'arithmétique, Publ. Math. de l'Univ. de Besançon (Théorie des Nombres) 1974-1975.

[28] G. Schrutka V. Rechtenstamm, Tabelle der (relativ)-Klassenzahlen der Kreiskörper, Abh. Deutschen Akad. Berlin, Math. Klasse (1964), 1-64. | Zbl

[29] J.P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, Hermann (1971). | MR | Zbl

Cité par Sources :