Transformée de Fourier–Mukai sur les schémas formels

Viguier, Florian

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 2, pp. 419-447.

En 1981, Mukai a construit la transformée de Fourier–Mukai pour des variétés abéliennes sur un corps algébriquement clos, qui donne une équivalence de catégories entre les faisceaux quasi-cohérents sur $A$ et ceux sur $A^{\vee }$, sa variété duale. Laumon a généralisé ces résultats pour les variétés abéliennes sur une base localement noethérienne. Dans cet article, nous définissons une transformée de Fourier–Mukai dans le cas où $A$ est un schéma abélien formel sur $S=\mathrm{Spf}\left(V\right)$, avec $V$ un anneau à valuation discrète, et nous étendons les résultats classiques de la transformée de Fourier–Mukai dans ce cas. Nous traitons enfin le cas de la fibre générique $A_K$ de $A$ afin d’obtenir une équivalence de catégories entre les faisceaux cohérents sur $A_K$ et ceux sur $A_K^{\vee }$.

In 1981, Mukai constructed the Fourier–Mukai transform for abelian varieties over an algebraically closed field, which gives an equivalence of categories between quasi-coherent sheaves over $A$ and the one over $A^{\vee }$, its dual variety. Laumon generalized these results for abelian varieties over a locally noetherian base. In this article, we define a Fourier–Mukai transform for an abelian formal scheme $A/S=\mathrm{Spf}\left(V\right)$, where $V$ is a discrete valuation ring, and we extend the classical results of Fourier–Mukai transform to this case. Finally, we discuss the case of the generic fiber $A_K$ of $A$ to obtain an equivalence of categories between coherent sheaves over $A_K$ and the ones over $A_K^{\vee }$.

Classification : 11N56, 14G42
Mots-clés : Transformée de Fourier–Mukai, Schémas formels, Variété abélienne, Variété analytique rigide

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