Enumerating $D_4$ quartics and a Galois group bias over function fields

Keliher, Daniel

doi:10.5802/jtnb.1206

Enumerating

D_{4}

quartics and a Galois group bias over function fields

Keliher, Daniel ¹

¹ Tufts University 177 College Ave. Medford, MA, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 2, pp. 371-391.

Résumé
Abstract

Nous donnons une formule asymptotique pour le nombre d’extensions quartiques du type $D_{4}$ et de discriminant donné d’un corps de fonctions en démontrant un résultat analogue à celui de Cohen, Diaz y Diaz et Olivier pour les corps de nombres mais avec un meilleur terme d’erreur. Nous étudions aussi la densité relative des extensions quartiques des types $D_{4}$ et $S_{4}$ d’un corps de fonctions. Nous montrons que sous des hypothèses faibles, le nombre d’extensions quartiques du type $D_{4}$ peut largement dépasser le nombre d’extensions quartiques du type $S_{4}$ .

We give an asymptotic formula for the number of $D_{4}$ quartic extensions of a function field with discriminant equal to some bound, essentially reproducing the analogous result over number fields due Cohen, Diaz y Diaz, and Olivier, but with a stronger error term. We also study the relative density of $D_{4}$ and $S_{4}$ quartic extensions of a function field and show that with mild conditions, the number of $D_{4}$ quartic extensions can far exceed the number of $S_{4}$ quartic extensions.

Reçu le : 2020-09-30
Accepté le : 2022-04-01
Publié le : 2022-10-24

DOI : 10.5802/jtnb.1206

Classification : 11R45, 11R11, 11R16, 11R58
Mots-clés : Field counting, function fields, Galois theory, polynomials

Affiliations des auteurs :

Keliher, Daniel ¹

¹ Tufts University 177 College Ave. Medford, MA, USA

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TY  - JOUR
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Keliher, Daniel. Enumerating $D_4$ quartics and a Galois group bias over function fields. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 2, pp. 371-391. doi : 10.5802/jtnb.1206. https://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.1206/

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