On a generalization of de Rham lemma

Saito, Kyoji

Annales de l'Institut Fourier, Volume 26 (1976) no. 2, pp. 165-170.

Let $M$ be a free module over a noetherian ring. For ${\omega }_1,...,{\omega }_k\in M$, let $𝒜$ be the ideal generated by coefficients of ${\omega }_1\wedge ...\wedge {\omega }_k$. For an element $\omega \in {\bigwedge }^{p}M$ with $p<\mathrm{prof}.𝒜$, if $\omega \wedge {\omega }_1\wedge ...\wedge {\omega }_k=0$, there exists ${\eta }_1,...,{\eta }_k\in {\bigwedge }^{p-1}M$ such that $\omega ={\sum }_{i=1}^k{\eta }_i\wedge {\omega }_i$.

This is a generalization of a lemma on the division of forms due to de Rham (Comment. Math. Helv., 28 (1954)) and has some applications to the study of singularities.

Soit $M$ un module libre sur un anneau noethérien. Pour ${\omega }_1,...,{\omega }_k\in M$, soit $𝒜$ l’idéal engendré par les coefficients de ${\omega }_1\wedge ...\wedge {\omega }_k$. Si $\omega$ est un élément de ${\bigwedge }^{p}M$ avec $p<\mathrm{prof}.𝒜$ et si $\omega \wedge {\omega }_1\wedge ...\wedge {\omega }_k=0$, il existe ${\eta }_1,...,{\eta }_k\in {\bigwedge }^{p-1}M$ tels que $\omega ={\sum }_{i=1}^k{\eta }_i\wedge {\omega }_i$.

Ceci généralise un lemme de de Rham sur la division des formes (Comment. Math. Helv., 28 (1954)) et on en obtient quelques applications à l’étude des singularités.

[1] G. De Rham, Sur la division de formes et de courants par une forme linéaire, Comment. Math. Helv., 28 (1954), 346-352. | MR | Zbl

[2] K. Saito, Calcul algébrique de la monodromie, Société Mathématique de France, Astérisque, 7 et 8 (1973), 195-212. | MR | Zbl