Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme Lu=- i x i ( j a ij u x j )=0
Annales de l'Institut Fourier, Volume 14 (1964) no. 2, pp. 493-507.

Soient Ω un domaine borné de R n et W 0 1,2 (Ω) l’adhérence de 𝒟(Ω) dans l’espace W 1,2 (Ω) des fonctions qui L 2 (Ω) ainsi que leurs dérivées partielles premières. On démontre d’abord le principe du maximum suivant : une sous-solution locale dans Ω, majorée p.p. au voisinage de Ω par une fonction W 0 1,2 (Ω) est 0 p.p. dans Ω.

Puis on vérifie que les solutions locales de Lu=0 forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant aux axiomes de M. Brelot, ce qui permet de parler du problème de Dirichlet dans un ouvert quelconque. On utilise alors le principe du maximum ci-dessus pour montrer que, si la donnée est la trace sur Ω d’une fonction F continue sur Ω ¯ et W 1,2 (Ω), alors la solution du problème de Dirichlet dans Ω est la solution u de Lu=0 dans Ω telle que F-uW 0 1,2 (Ω).

@article{AIF_1964__14_2_493_0,
     author = {Herv\'e, Rose-Marie},
     title = {Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d{\textquoteright}une \'equation uniform\'ement elliptique de la forme $Lu=-\sum _i{\partial \over \partial x_i}(\sum _j a_{ij}{\partial u\over \partial x_j})=0$},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {493--507},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {14},
     number = {2},
     year = {1964},
     doi = {10.5802/aif.185},
     mrnumber = {30 #5040},
     zbl = {0129.07202},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.185/}
}
TY  - JOUR
AU  - Hervé, Rose-Marie
TI  - Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme $Lu=-\sum _i{\partial \over \partial x_i}(\sum _j a_{ij}{\partial u\over \partial x_j})=0$
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1964
SP  - 493
EP  - 507
VL  - 14
IS  - 2
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.185/
DO  - 10.5802/aif.185
LA  - fr
ID  - AIF_1964__14_2_493_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Hervé, Rose-Marie
%T Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme $Lu=-\sum _i{\partial \over \partial x_i}(\sum _j a_{ij}{\partial u\over \partial x_j})=0$
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1964
%P 493-507
%V 14
%N 2
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.185/
%R 10.5802/aif.185
%G fr
%F AIF_1964__14_2_493_0
Hervé, Rose-Marie. Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme $Lu=-\sum _i{\partial \over \partial x_i}(\sum _j a_{ij}{\partial u\over \partial x_j})=0$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 14 (1964) no. 2, pp. 493-507. doi : 10.5802/aif.185. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.185/

[1] M. Brelot, Lectures on potential theory, Tata Institute of fundamental research, 1960. | MR | Zbl

[2] E. De Giorgi, Sulla differentiabilità e l'analiticità delle extremali degli integrali multipli regolari, Mem. Accad. Sci. Torino, 1957. | Zbl

[3] R. M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 1962. | Numdam | MR | Zbl

[4] W. Littman, G. Stampacchia et H. F. Weinberger. Regular points for elliptic equations with discontinuous cœfficients, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, 1963. | Numdam | Zbl

[5] E. Magenes et G. Stampacchia, I problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellittico, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, 1958. | Numdam | MR | Zbl

[6] C. B. Morrey, Second order elliptic equations in several variables and Holder continuity, Math. Zeit, 1959. | MR | Zbl

[7] J. Moser, A new proof of de Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations, Comm. Pure Appl. Math., 1960. | MR | Zbl

[8] J. Moser, On Harnack's theorem for elliptic differential equations, Comm. Pure Appl. Math., 1961. | MR | Zbl

[9] J. Nash, Continuity of the solutions of parabolic and elliptic equations, Amer. J. Math., 1958. | MR | Zbl

[10] L. Schwartz, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles, 1954-1955, Secrétariat math., 11, rue P. Curie, Paris.

[11] G. Stampacchia, Problemi al contorno ellittici, con dati discontinui, dotati di soluzioni holderiane, Ann. di Matem., 1960. | Zbl

Cited by Sources: