On Ozaki's condition for <i>p</i>-valency

Nunokawa, Mamoru; Sokół, Janusz; Thomas, Derek K.

doi:10.1016/j.crma.2018.02.007

Mathematical analysis

On Ozaki's condition for p-valency
[Sur la condition d'Ozaki pour qu'une fonction soit p-valuée]

Présenté par : the Editorial Board

Nunokawa, Mamoru ¹ ; Sokół, Janusz ² ; Thomas, Derek K.³

¹ University of Gunma, Hoshikuki-cho 798-8, Chuou-Ward, Chiba, 260-0808, Japan
² University of Rzeszów, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, ul. Prof. Pigonia 1, 35-310 Rzeszów, Poland
³ Department of Mathematics, Swansea University, Singleton Park, Swansea, SA2 8PP, UK

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 356 (2018) no. 4, pp. 382-386.

Résumé
Abstract

Soit f une fonction analytique dans un domaine $D \subset C$ . Un théorème bien connu d'Ozaki affirme que, si f est analytique dans D, donnée par $f (z) = z^{p} + \sum_{n = p + 1}^{\infty} a_{n} z^{n}$ pour $z \in D$ et

Re {e^{i α} f^{(p)} (z)} > 0, (z \in D),

pour un réel α, alors f est au plus p-valuée dans D. La condition d'Ozaki est une généralisation d'une condition de Noshiro–Warschawski pour qu'une fonction soit univaluée, également bien connue. Notre propos ici est de fournir des conditions suffisantes pour que des fonctions analytiques dans le disque unité

D = {z \in C; | z | < 1}

soient p-valuées dans

D

et d'améliorer la condition suffisante d'Ozaki correspondante quand

z \in D

Let f be an analytic function in a convex domain $D \subset C$ . A well-known theorem of Ozaki states that if f is analytic in D, and is given by $f (z) = z^{p} + \sum_{n = p + 1}^{\infty} a_{n} z^{n}$ for $z \in D$ , and

Re {e^{i α} f^{(p)} (z)} > 0, (z \in D),

for some real α, then f is at most p-valent in D. Ozaki's condition is a generalization of the well-known Noshiro–Warschawski univalence condition. The purpose of this paper is to provide some related sufficient conditions for functions analytic in the unit disk

D = {z \in C : | z | < 1}

to be p-valent in

D

, and to give an improvement to Ozaki's sufficient condition for p-valence when

z \in D

Reçu le : 2018-01-03
Accepté le : 2018-02-19
Publié le : 2018-02-23

DOI : 10.1016/j.crma.2018.02.007

Affiliations des auteurs :

Nunokawa, Mamoru ¹ ; Sokół, Janusz ² ; Thomas, Derek K. ³

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     author = {Nunokawa, Mamoru and Sok\'o{\l}, Janusz and Thomas, Derek K.},
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     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {382--386},
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TY  - JOUR
AU  - Nunokawa, Mamoru
AU  - Sokół, Janusz
AU  - Thomas, Derek K.
TI  - On Ozaki's condition for p-valency
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2018
SP  - 382
EP  - 386
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Nunokawa, Mamoru; Sokół, Janusz; Thomas, Derek K. On Ozaki's condition for p-valency. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 356 (2018) no. 4, pp. 382-386. doi : 10.1016/j.crma.2018.02.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2018.02.007/

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