no. 10
Contrôle optimal
Une nouvelle approche pour la synchronisation approchée d'un système couplé d'équations des ondes : contrôles directs et indirects

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Li, Tatsien1 ; Rao, Bopeng2
1 School of Mathematical Sciences, Fudan University, Shanghai 200433, China
2 Institut de recherche Mathématique avancée, Université de Strasbourg, 67084 Strasbourg, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 10, pp. 1006-1012.

Dans cette Note, nous donnons une nouvelle définition plus naturelle de la synchronisation approchée par p-groupes (p≥1) pour un système couplé de N équations des ondes par des contrôles frontières de Dirichlet. Au moyen du critère de Kalman, nous introduisons la notion de nombre de contrôles totaux (directs et indirects). Nous montrons que, si (N−p) est le nombre minimal de contrôles totaux pour la synchronisation approchée par p-groupes, alors on aura nécessairement l'existence de l'état approximativement synchronisable, ainsi que la condition de Cp-compatibilité. Dans le cas contraire, la synchronisation approchée par p-groupes peut entraîner certaines propriétés supplémentaires inattendues.

In this Note, we give a new and more natural definition of the approximate synchronization by p-groups (p≥1) for a coupled system of N wave equations with Dirichlet boundary controls. By means of Kalman's criterion, the concept of the number of total (direct and indirect) controls is introduced. If the minimal number of total controls is equal to (N−p), then the existence of the approximately synchronizable state as well as the necessity of the Cp-compatibility condition are the consequence of the approximate synchronization by p-groups. Otherwise, the approximate synchronization by p-groups could imply some unexpected additional properties.

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DOI : 10.1016/j.crma.2016.08.005
Li, Tatsien 1 ; Rao, Bopeng 2

1 School of Mathematical Sciences, Fudan University, Shanghai 200433, China
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Li, Tatsien; Rao, Bopeng. Une nouvelle approche pour la synchronisation approchée d'un système couplé d'équations des ondes : contrôles directs et indirects. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 10, pp. 1006-1012. doi : 10.1016/j.crma.2016.08.005. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2016.08.005/

[1] Bardos, C.; Lebeau, G.; Rauch, J. Sharp sufficient conditions for the observation, control, and stabilization of waves from the boundary, SIAM J. Control Optim., Volume 30 (1992), pp. 1024-1065

[2] Kalman, R.E. Contributions to the theory of optimal control, Bol. Soc. Mat. Mexicana, Volume 5 (1960), pp. 102-119

[3] Li, T-T.; Rao, B. Exact synchronization for a coupled system of wave equations with Dirichlet boundary controls, Chin. Ann. Math., Volume 34B (2013), pp. 139-160

[4] Li, T-T.; Rao, B. Asymptotic controllability and asymptotic synchronization for a coupled system of wave equations with Dirichlet boundary controls, Asymptot. Anal., Volume 86 (2014), pp. 199-225

[5] Li, T.-T.; Rao, B. On the exactly synchronizable state to a coupled system of wave equations, Port. Math., Volume 72 (2015), pp. 83-106

[6] Li, T-T.; Rao, B. Exact synchronization by groups for a coupled system of wave equations with Dirichlet boundary controls, J. Math. Pures Appl., Volume 105 (2016), pp. 86-101

[7] Li, T-T.; Rao, B. Kalman-type criteria for the approximate controllability and approximate synchronization of a coupled system of wave equations, SIAM J. Control Optim., Volume 54 (2016), pp. 49-72

[8] T-T. Li, B. Rao, A new approach for the approximate synchronization for a coupled system of wave equations: direct and indirect controls, Preprint.

[9] Li, T-T.; Rao, B.; Wei, Y. Generalized exact boundary synchronization for a coupled system of wave equations, Discrete Contin. Dyn. Syst., Volume 34 (2014), pp. 2893-2906

[10] Russell, D.L. Controllability and stabilization theory for linear partial differential equations: recent progress and open questions, SIAM Rev., Volume 20 (1978), pp. 639-739

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