Lp harmonic analysis for differential-reflection operators

Ben Saïd, Salem; Boussen, Asma; Sifi, Mohamed

doi:10.1016/j.crma.2016.01.020

Harmonic analysis

L^p harmonic analysis for differential-reflection operators

Présenté par : the Editorial Board

Ben Saïd, Salem ¹ ; Boussen, Asma ² ; Sifi, Mohamed ²

¹ Institut Élie Cartan de Lorraine, Université de Lorraine, BP 239, 54506 Vandœuvre-Lès-Nancy, France
² Université de Tunis El Manar, Faculté des sciences de Tunis, LR11ES11 Laboratoire d'analyse mathématiques et applications, 2092 Tunis, Tunisia

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 5, pp. 510-516.

Résumé
Abstract

Nous introduisons et étudions des opérateurs différentiels aux différences $Λ_{A, ε}$ agissant sur les fonctions régulières définies sur $R$ . Ici A est une fonction de Sturm–Liouville avec des hypothèses supplémentaires et $ε \in R$ . Pour des cas particuliers de paires $(A, ε)$ , nous obtenons les opérateurs de Dunkl, de Heckman et de Cherednik (unidimensionnels).

Comme, par construction, les opérateurs $Λ_{A, ε}$ entremêlent $d / d x$ et des opérateurs de réflexion, nous prouvons qu'il existe un opérateur $V_{A, ε}$ tel que $Λ_{A, ε} \circ V_{A, ε} = V_{A, ε} \circ d / d x$ . La positivité de l'opérateur $V_{A, ε}$ a été établie.

À l'aide des fonctions propres de $Λ_{A, ε}$ , nous introduisons une transformée de Fourier généralisée $F_{A, ε}$ . Nous développons de l'analyse de Fourier de type $L^{p}$ pour $F_{A, ε}$ quand $- 1 \leq ε \leq 1$ et $0 < p \leq \frac{2}{1 + \sqrt{1 - ε^{2}}}$ , et nous caractérisons l'image des p-espaces de Schwartz par $F_{A, ε}$ .

Les détails seront publiés dans d'autres articles [3] et [4].

We introduce and study differential-reflection operators $Λ_{A, ε}$ acting on smooth functions defined on $R$ . Here A is a Sturm–Liouville function with additional hypotheses and $ε \in R$ . For special pairs $(A, ε)$ , we recover Dunkl's, Heckman's and Cherednik's operators (in one dimension).

As, by construction, the operators $Λ_{A, ε}$ are mixture of $d / d x$ and reflection operators, we prove the existence of an operator $V_{A, ε}$ so that $Λ_{A, ε} \circ V_{A, ε} = V_{A, ε} \circ d / d x$ . The positivity of the intertwining operator $V_{A, ε}$ is also established.

Via the eigenfunctions of $Λ_{A, ε}$ , we introduce a generalized Fourier transform $F_{A, ε}$ . For $- 1 \leq ε \leq 1$ and $0 < p \leq \frac{2}{1 + \sqrt{1 - ε^{2}}}$ , we develop an $L^{p}$ -Fourier analysis for $F_{A, ε}$ , and then we prove an $L^{p}$ -Schwartz space isomorphism theorem for $F_{A, ε}$ .

Details of this paper will be given in other articles [3] and [4].

Reçu le : 2015-07-06
Accepté le : 2016-01-26
Publié le : 2016-04-19

DOI : 10.1016/j.crma.2016.01.020

Affiliations des auteurs :

Ben Saïd, Salem ¹ ; Boussen, Asma ² ; Sifi, Mohamed ²

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Ben Saïd, Salem; Boussen, Asma; Sifi, Mohamed. L^p harmonic analysis for differential-reflection operators. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 5, pp. 510-516. doi : 10.1016/j.crma.2016.01.020. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2016.01.020/

Bibliographie
Cité par

[1] Anker, J.-Ph The spherical Fourier transform of rapidly decreasing functions. A simple proof of a characterization due to Harish-Chandra, Helgason, Trombi, and Varadarajan, J. Funct. Anal., Volume 96 (1991) no. 2, pp. 331-349

[2] Ben Said, S.; Boussen, A.; Sifi, M. Uncertainty principles and characterization of the heat kernel for certain differential-reflection operators, Adv. Pure Appl. Math., Volume 6 (2015) no. 4, pp. 215-239

[3] S. Ben Said, A. Boussen, M. Sifi, Intertwining operators associated to a family of differential-reflection operators, preprint.

[4] S. Ben Said, A. Boussen, M. Sifi, $L^{p}$ -Fourier analysis associated to a family of differential-reflection operators, preprint.

[5] Bloom, W.R.; Heyer, H. Harmonic Analysis of Probability Measures on Hypergroups, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 20, Walter de Gruyter, Berlin, 1995 (vi+601 pp)

[6] Chébli, H. Sur un théorème de Paley–Wiener associé à la décomposition spectrale d'un opérateur de Sturm–Liouville sur $(0, \infty)$ , J. Funct. Anal., Volume 17 (1974), pp. 447-461

[7] Chébli, H. Opérateurs de translation généralisée et semi-groupes de convolution, Journées Soc. Math. France, Inst. Recherche Math. Avancée, Strasbourg, 1973 (Lecture Notes in Math.), Volume vol. 404, Springer, Berlin (1974), pp. 35-59

[8] Cherednik, I. A unification of Knizhnik–Zamolodchnikov equations and Dunkl operators via affine Hecke algebras, Invent. Math., Volume 106 (1991), pp. 411-432

[9] Delorme, P. Espace de Schwartz pour la transformation de Fourier hypergómt́rique, J. Funct. Anal., Volume 168 (1999) no. 1, pp. 239-312 (Appendix A by Mustapha Tinfou)

[10] Dunkl, C. Differential-difference operators associated to reflection groups, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 311 (1989), pp. 167-183

[11] Heckman, G.J. An elementary approach to the hypergeometric shift operators of Opdam, Invent. Math., Volume 103 (1991) no. 2, pp. 341-350

[12] Koornwinder, T.H. Jacobi functions and analysis on noncompact semisimple Lie groups, Special Functions: Group Theoretical Aspects and Applications, Math. Appl., Reidel, Dordrecht, The Netherlands, 1984, pp. 1-85

[13] Lions, J.L. Opérateurs de Delsarte et problèmes mixtes, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 84 (1956), pp. 9-95

[14] Opdam, E.M. Harmonic analysis for certain representations of graded Hecke algebras, Acta Math., Volume 175 (1995), pp. 75-121

[15] Thyssen, M. Sur certains opérateurs de transmutation particuliers, Mem. Soc. R. Sci. Liege (5), Volume 6 (1961) no. 3 (32 pp)

[16] Trimèche, K. Generalized Wavelets and Hypergroups, Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam, 1997 (xii+354 pp)

[17] Trimèche, K. Positivity of the transmutation operators associated with a Cherednik type operator on the real line, Adv. Pure Appl. Math., Volume 3 (2012) no. 4, pp. 361-376

[18] Trimèche, K. The transmutation operators relating to a Dunkl type operator on $R$ and their positivity, Mediterr. J. Math., Volume 12 (2015) no. 2, pp. 349-369

Cité par Sources :