Leray's problem for the Navier–Stokes equations revisited

Rigelo, Joyce C.; Schütz, Lineia; Zingano, Janaína P.; Zingano, Paulo R.

doi:10.1016/j.crma.2016.02.008

Partial differential equations

Leray's problem for the Navier–Stokes equations revisited
[Le problème de Leray pour les équations de Navier–Stokes réexaminé]

Présenté par : Haïm Brézis

Rigelo, Joyce C.¹ ; Schütz, Lineia ² ; Zingano, Janaína P.² ; Zingano, Paulo R.²

¹ Department of Petroleum and Geosystems Engineering, The University of Texas at Austin, Austin, TX 78712, USA
² Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS 91509, Brazil

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 5, pp. 503-509.

Résumé
Abstract

En 1934, J. Leray a construit des solutions faibles $u (\cdot, t) \in L^{\infty} ([0, \infty), L_{σ}^{2} (R^{3})) \cap C_{w}^{0} ([0, \infty), L^{2} (R^{3})) \cap L^{2} ([0, \infty), {\dot{H}}^{1} (R^{3}))$ pour les équations de Navier–Stokes avec des données initiales $u (\cdot, 0) \in L_{σ}^{2} (R^{3})$ arbitraires, où il a laissé non résolue la question de savoir si ${‖ u (\cdot, t) ‖}_{L^{2} (R^{3})}$ tendrait toujours vers zéro quand $t \to \infty$ , à laquelle a été répondu positivement en 1984 par T. Kato, au moyen d'une autre approche. Ici, on reconsidère le problème de Leray et quelques-unes de ses extensions, qui sont résolus en n'employant que des idées développées par Leray en 1934 et des techniques classiques, très utilisées déjà à cette époque.

In a seminal work in 1934, J. Leray constructed solutions $u (\cdot, t) \in L^{\infty} ([0, \infty), L_{σ}^{2} (R^{3})) \cap C_{w}^{0} ([0, \infty), L^{2} (R^{3})) \cap L^{2} ([0, \infty), {\dot{H}}^{1} (R^{3}))$ of the Navier–Stokes equations for arbitrary initial data $u (\cdot, 0) \in L_{σ}^{2} (R^{3})$ and left it open whether ${‖ u (\cdot, t) ‖}_{L^{2} (R^{3})}$ would necessarily tend to zero as $t \to \infty$ . This question was answered positively fifty years later by T. Kato, using a different approach. Here, we reexamine Leray's problem and solve this and other important related questions using Leray's original ideas and some standard tools (Fourier transform, Duhamel's principle, heat kernel estimates) already in use in his time.

Reçu le : 2015-07-06
Accepté le : 2016-02-23
Publié le : 2016-03-29

DOI : 10.1016/j.crma.2016.02.008

Affiliations des auteurs :

Rigelo, Joyce C. ¹ ; Schütz, Lineia ² ; Zingano, Janaína P. ² ; Zingano, Paulo R. ²

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Rigelo, Joyce C.; Schütz, Lineia; Zingano, Janaína P.; Zingano, Paulo R. Leray's problem for the Navier–Stokes equations revisited. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 5, pp. 503-509. doi : 10.1016/j.crma.2016.02.008. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2016.02.008/

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Cité par Sources :