Quasilinear elliptic Hamilton–Jacobi equations on complete manifolds

Bidaut-Véron, Marie-Françoise; Garcia-Huidobro, Marta; Véron, Laurent

doi:10.1016/j.crma.2013.06.007

Partial Differential Equations/Differential Geometry

Quasilinear elliptic Hamilton–Jacobi equations on complete manifolds
[Equations de Hamilton–Jacobi quasilinéaires sur une variété complète]

Présenté par : Haim Brezis

Bidaut-Véron, Marie-Françoise ¹ ; Garcia-Huidobro, Marta ² ; Véron, Laurent ¹

¹ Laboratoire de mathématiques et physique théorique, CNRS UMR 7350, faculté des sciences, 37200 Tours, France
² Departamento de Matematicas, Pontifica Universidad Catolica de Chile, Casilla 307, Correo 2, Santiago de Chile, Chile

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 351 (2013) no. 11-12, pp. 445-449.

Résumé
Abstract

Soit $(M^{n}, g)$ une variété riemannienne n-dimensionnelle complète, non compacte et connexe de courbures de Ricci ${Ricc}_{g}$ et sectionnelle ${Sec}_{g}$ . On suppose ${Ricc}_{g} ⩾ (1 - n) B^{2}$ et ${Sec}_{g} (x) = o ({dist}^{2} (x, a))$ si ${dist}^{2} (x, a) \to \infty$ pour $a \in M$ si $p > 2$ , ou ${Sec}_{g} (x) ⩽ 0$ si $1 < p < 2$ . Si $q > p - 1 > 0$ , toute solution de classe $C^{1}$ de (E) $- Δ_{p} u + {| \nabla u |}^{q} = 0$ sur M satisfait à $| \nabla u (x) | ⩽ c_{n, p, q} B^{\frac{1}{q + 1 - p}}$ , où $c_{n, p, q} > 0$ est une constante. On en déduit quʼil existe $c_{n, p} > 0$ tel que toute fonction p-harmonique positive v sur M satisfait à lʼencadrement suivant : $v (a) e^{- c_{n, p} B dist (x, a)} ⩽ v (x) ⩽ v (a) e^{c_{n, p} B dist (x, a)}$ pour tout $(a, x) \in M \times M$ .

Let $(M^{n}, g)$ be an n-dimensional complete, non-compact and connected Riemannian manifold, with Ricci tensor ${Ricc}_{g}$ and sectional curvature ${Sec}_{g}$ . Assume ${Ricc}_{g} ⩾ (1 - n) B^{2}$ , and either $p > 2$ and ${Sec}_{g} (x) = o ({dist}^{2} (x, a))$ when ${dist}^{2} (x, a) \to \infty$ for $a \in M$ , or $1 < p < 2$ and ${Sec}_{g} (x) ⩽ 0$ . If $q > p - 1 > 0$ , any $C^{1}$ solution of (E) $- Δ_{p} u + {| \nabla u |}^{q} = 0$ on M satisfies $| \nabla u (x) | ⩽ c_{n, p, q} B^{\frac{1}{q + 1 - p}}$ for some constant $c_{n, p, q} > 0$ . As a consequence, there exists $c_{n, p} > 0$ such that any positive p-harmonic function v on M satisfies $v (a) e^{- c_{n, p} B dist (x, a)} ⩽ v (x) ⩽ v (a) e^{c_{n, p} B dist (x, a)}$ for any $(a, x) \in M \times M$ .

Reçu le : 2013-06-04
Accepté le : 2013-06-24
Publié le : 2013-06-01

DOI : 10.1016/j.crma.2013.06.007

Affiliations des auteurs :

Bidaut-Véron, Marie-Françoise ¹ ; Garcia-Huidobro, Marta ² ; Véron, Laurent ¹

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Bidaut-Véron, Marie-Françoise; Garcia-Huidobro, Marta; Véron, Laurent. Quasilinear elliptic Hamilton–Jacobi equations on complete manifolds. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 351 (2013) no. 11-12, pp. 445-449. doi : 10.1016/j.crma.2013.06.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.06.007/

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