On the existence of weak solutions to a model problem for the unsteady turbulent pipe-flow

Naumann, Joachim

doi:10.1016/j.crma.2013.06.011

Partial Differential Equations

On the existence of weak solutions to a model problem for the unsteady turbulent pipe-flow
[Sur lʼexistence des solutions faibles pour un modèle dʼécoulement non stationnaire turbulent dans une conduite]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Naumann, Joachim ¹

¹ Department of Mathematics, Humboldt University Berlin, Unter den Linden 6, 10099 Berlin, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 351 (2013) no. 11-12, pp. 451-456.

Résumé
Abstract

On considère un système couplé dʼéquations aux dérivées partielles pour des fonctions scalaires u et k dans un cylindre $Ω \times] 0, T [$ ( $Ω \subset R^{2}$ domaine borné, $0 < T < + \infty$ ). Ce système représente une version simplifiée du modèle de turbulence de Prandtl (1945) dans le cas de lʼécoulement non stationnaire dʼun liquide dans une conduite de section Ω ( $u = vitesse$ à une dimension, k = énergie cinétique de la turbulence). Nous démontrons lʼexistence de solutions faibles pour le système envisagé avec des conditions homogènes de Dirichlet pour u et des conditions de Neumann pour k sur $\partial Ω \times] 0, T [$ , et des conditions initiales pour des fonctions u et k dans $Ω \times {0}$ .

We consider a coupled system of PDEs for the scalar functions u and k in a cylinder $Ω \times] 0, T [$ ( $Ω \subset R^{2}$ bounded domain, $0 < T < + \infty$ ). This system represents a simplified version of Prandtlʼs (1945) model of turbulence in the case of an unsteady motion of a fluid through a pipe with cross-section Ω (u = one-dimensional velocity, k = turbulent kinetic energy). We prove the existence of weak solutions to the problem under consideration with homogeneous Dirichlet conditions on u and homogeneous Neumann conditions on k along $\partial Ω \times] 0, T [$ , and initial conditions on u and k in $Ω \times {0}$ .

Reçu le : 2013-02-28
Accepté le : 2013-06-27
Publié le : 2013-06-01

DOI : 10.1016/j.crma.2013.06.011

Affiliations des auteurs :

Naumann, Joachim ¹

¹ Department of Mathematics, Humboldt University Berlin, Unter den Linden 6, 10099 Berlin, Germany

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Naumann, Joachim. On the existence of weak solutions to a model problem for the unsteady turbulent pipe-flow. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 351 (2013) no. 11-12, pp. 451-456. doi : 10.1016/j.crma.2013.06.011. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.06.011/

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