Mathematical Problems in Mechanics
Nonlinear Saint-Venant compatibility conditions for nonlinearly elastic plates
[Conditions non linéaires de compatibilité de Saint-Venant pour des plaques non linéairement élastiques]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 23-24, pp. 1297-1302.

Soit ω un domaine plan simplement connexe. On donne des conditions non linéaires de compatibilité du type de Saint-Venant, nécessaires et suffisantes pour que, étant donné deux champs (Eαβ) et (Fαβ) de matrices symétriques dont les éléments sont dans L2(ω), il existe un champ de vecteurs (ηi)i=13 avec des composantes η1,η2H1(ω) et η3H2(ω) tel que 12(αηβ+βηα+αη3βη3)=Eαβ et αβη3=Fαβ dans ω pour α,β=1,2, les membres de gauche de ces équations apparaissant naturellement dans la théorie des plaques non linéairement élastiques. Un tel champ de vecteurs η=(ηi) étant défini de façon unique sʼil appartient à un sous-espace fermé V0(ω) particulier de H1(ω)×H1(ω)×H2(ω), on étudie les propriétés de continuité de lʼapplication non linéaire (E,F)(L2(ω))4×(L2(ω))4ηV0(ω) définie de cette façon.

Let ω be a simply-connected planar domain. We give necessary and sufficient nonlinear compatibility conditions of Saint-Venant type guaranteeing that, given two 2×2 symmetric matrix fields (Eαβ) and (Fαβ) with components in L2(ω), there exists a vector field (ηi)i=13 with components η1,η2H1(ω) and η3H2(ω) such that 12(αηβ+βηα+αη3βη3)=Eαβ and αβη3=Fαβ in ω for α,β=1,2, the left-hand sides of these equations arising naturally in nonlinearly elastic plate theory. Such a vector field η=(ηi) being uniquely defined if it belongs to a particular closed subspace V0(ω) of H1(ω)×H1(ω)×H2(ω), we study the continuity properties of the nonlinear mapping (E,F)(L2(ω))4×(L2(ω))4ηV0(ω) defined in this fashion.

Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2011.10.019
Ciarlet, Philippe G. 1 ; Mardare, Sorin 2

1 Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
2 Laboratoire de mathématiques Raphaël-Salem, université de Rouen, avenue de lʼuniversité, 76801 Saint-Etienne-du-Rouvray, France
@article{CRMATH_2011__349_23-24_1297_0,
     author = {Ciarlet, Philippe G. and Mardare, Sorin},
     title = {Nonlinear {Saint-Venant} compatibility conditions for nonlinearly elastic plates},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1297--1302},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {349},
     number = {23-24},
     year = {2011},
     doi = {10.1016/j.crma.2011.10.019},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.10.019/}
}
TY  - JOUR
AU  - Ciarlet, Philippe G.
AU  - Mardare, Sorin
TI  - Nonlinear Saint-Venant compatibility conditions for nonlinearly elastic plates
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2011
SP  - 1297
EP  - 1302
VL  - 349
IS  - 23-24
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.10.019/
DO  - 10.1016/j.crma.2011.10.019
LA  - en
ID  - CRMATH_2011__349_23-24_1297_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Ciarlet, Philippe G.
%A Mardare, Sorin
%T Nonlinear Saint-Venant compatibility conditions for nonlinearly elastic plates
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2011
%P 1297-1302
%V 349
%N 23-24
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.10.019/
%R 10.1016/j.crma.2011.10.019
%G en
%F CRMATH_2011__349_23-24_1297_0
Ciarlet, Philippe G.; Mardare, Sorin. Nonlinear Saint-Venant compatibility conditions for nonlinearly elastic plates. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 23-24, pp. 1297-1302. doi : 10.1016/j.crma.2011.10.019. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.10.019/

[1] Ciarlet, P.G.; Ciarlet, P. Jr. Another approach to linearized elasticity and a new proof of Kornʼs inequality, Math. Models Methods Appl. Sci., Volume 15 (2005), pp. 259-271

[2] Ciarlet, P.G.; Destuynder, P. A justification of a nonlinear model in plate theory, Computer Methods Appl. Mech. Engrg., Volume 17/18 (1979), pp. 227-258

[3] P.G. Ciarlet, S. Mardare, An intrinsic approach and a notion of polyconvexity for nonlinearly elastic plates, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, , in press. | DOI

[4] P.G. Ciarlet, S. Mardare, Saint-Venant compatibility conditions and a notion of polyconvexity in nonlinear plate theory, in preparation.

[5] Friesecke, G.; James, R.D.; Müller, S. A hierarchy of plate models derived from nonlinear elasticity by Gamma-convergence, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 180 (2006), pp. 183-236

[6] von Kármán, T. Festigkeitsprobleme im Maschinenbau, Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften, vol. IV/4, Leipzig, 1910, pp. 311-385

[7] Kirchhoff, G. Über das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe, J. Reine Angew. Math., Volume 40 (1850), pp. 51-58

[8] Love, A.E.H. Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Cambridge University Press, Cambridge, 1934 (reprinted by Dover Publications, New York, 1944)

[9] Nečas, J.; Naumann, J. On a boundary value problem in nonlinear theory of thin elastic plates, Aplikace Matematiky, Volume 19 (1974), pp. 7-16

[10] Rabier, P. Résultats dʼexistence dans des modèles non linéaires de plaques, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A, Volume 289 (1979), pp. 515-518

Cité par Sources :