Foliated vector bundles and Riemannian foliations

Popescu, Paul; Popescu, Marcela

doi:10.1016/j.crma.2011.02.017

Differential Geometry

Foliated vector bundles and Riemannian foliations
[Fibrés vectoriels feuilletés et feuilletages riemanniens]

Présenté par : Étienne Ghys

Popescu, Paul ¹ ; Popescu, Marcela ¹

¹ Département de mathematiques appliquées, université de Craiova, rue Al. Cuza, No. 13, 200585 Craiova, Romania

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 7-8, pp. 445-449.

Résumé
Abstract

Dans cette Note on établie lʼéquivanence entre la propriété pour un feuilletage dʼêtre riemannien et chacune des conditions suivantes : 1) le feuilletage rélevé $F^{r}$ sur lʼespace des jets r-transverses est riemannien pour une certaine valeur de $r ⩾ 1$ ; 2) le feuilletage rélevé $F_{0}^{r}$ sur lʼespace réduit des jets r-transverses est riemannien et verticalement exact pour une certaine valeur de $r ⩾ 1$ ; 3) il existe un lagrangien positif, admissible et transvers sur $J_{0}^{r} E$ , le fibré réduit des jets r-transverses dʼun fibré vectoriel $E \to M$ , pour une certaine valeur $r ⩾ 1$ .

In this Note we prove the equivalence between the Riemannian foliation and each of the following conditions: 1) the lifted foliation $F^{r}$ on the bundle of r-transverse jets is Riemannian for $r ⩾ 1$ ; 2) the foliation $F_{0}^{r}$ on the slashed $J_{0}^{r}$ is Riemannian and vertically exact for $r ⩾ 1$ ; 3) there exists a positively admissible transverse Lagrangian on $J_{0}^{r} E$ , the r-transverse slashed jet bundle of a foliated bundle $E \to M$ , for $r ⩾ 1$ .

Reçu le : 2010-02-14
Accepté le : 2011-02-17
Publié le : 2011-03-04

DOI : 10.1016/j.crma.2011.02.017

Affiliations des auteurs :

Popescu, Paul ¹ ; Popescu, Marcela ¹

¹ Département de mathematiques appliquées, université de Craiova, rue Al. Cuza, No. 13, 200585 Craiova, Romania

@article{CRMATH_2011__349_7-8_445_0,
     author = {Popescu, Paul and Popescu, Marcela},
     title = {Foliated vector bundles and {Riemannian} foliations},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {445--449},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {349},
     number = {7-8},
     year = {2011},
     doi = {10.1016/j.crma.2011.02.017},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.02.017/}
}

TY  - JOUR
AU  - Popescu, Paul
AU  - Popescu, Marcela
TI  - Foliated vector bundles and Riemannian foliations
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2011
SP  - 445
EP  - 449
VL  - 349
IS  - 7-8
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.02.017/
DO  - 10.1016/j.crma.2011.02.017
LA  - en
ID  - CRMATH_2011__349_7-8_445_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Popescu, Paul
%A Popescu, Marcela
%T Foliated vector bundles and Riemannian foliations
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2011
%P 445-449
%V 349
%N 7-8
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.02.017/
%R 10.1016/j.crma.2011.02.017
%G en
%F CRMATH_2011__349_7-8_445_0

Popescu, Paul; Popescu, Marcela. Foliated vector bundles and Riemannian foliations. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 7-8, pp. 445-449. doi : 10.1016/j.crma.2011.02.017. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.02.017/

Bibliographie
Cité par

[1] Cruceanu, V. Sur la théorie des sous-fibrés vectoriels, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 302 (1986) no. 20, pp. 705-708

[2] Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. New Lagrangian and Hamiltonian. Methods in Field Theory, World Scientific, Singapore, 1997

[3] Józefowicz, M.; Wolak, R. Finsler foliations of compact manifolds are Riemannian, Differential Geometry and its Applications, Volume 26 (2008) no. 2, pp. 224-226

[4] Miernowski, A.; Mozgawa, W. Lift of the Finsler foliation to its normal bundle, Differential Geometry and its Applications, Volume 24 (2006), pp. 209-214

[5] Molino, P. Riemannian Foliations, Progress in Mathematics, vol. 73, Birhäuser, Boston, 1988

[6] Popescu, M.; Popescu, P. Lagrangians adapted to submersions and foliations, Differential Geometry and its Applications, Volume 27 (2009) no. 2, pp. 171-178

[7] Shen, Z. Differential Geometry of Spray and Finsler Spaces, Kluwer Academic Publishers, 2001

[8] Tarquini, C. Feuilletages de type fini compact, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 339 (2004), pp. 209-214

Cité par Sources :