[Le théorème de Kahane pour les sommes partielles non sphériques des intégrales de Fourier]
Pour on sait que les sommes partielles sphériques des intégrales n-ièmes de la fonction caractéristique d'une boule divergent à l'origine ; cela résulte du saut de cette fonction à la frontière de la boule. La relation entre les propriétés de convergence des sommes partielles sphériques et la géométrie des discontinuités de la fonction considérée a été étudiée en détail dans un article bien connu de Kahane : le résultat le plus intéressant démontré par Kahane est que pour la fonction caractéristique d'un domaine borné de la proposition réciproque est également vraie, à savoir que si la surface est analytique et si l'inverse de Fourier est réduite à un point, alors la surface doit être une sphère et le point est le centre de cette sphère. Dans cette Note on considère des sommes partielles non sphériques, c'est-à-dire des intégrales de Fourier sur des ensembles symétriques, fortement convexes bornés à frontières régulières ; on démontre ainsi une généralisation naturelle du théorème de Kahane.
When it is well known that the spherical partial sums of n-fold Fourier integrals of the characteristic function of a ball diverge at the origin, because of the jump at the boundary of the ball. The relation between convergence properties of spherical partial sums and geometry of discontinuities of the function being expanded was investigated in the well-known paper of Kahane. The most remarkable result, proved by Kahane in this paper, asserts that for the characteristic function of a bounded domain in the inverse statement is also true: if the surface is analytic and if the spherical Fourier inversion fails at a single point, then the surface must be a sphere and the point must be the center. In this Note we consider nonspherical partial sums, i.e. Fourier integrals under summation over smoothly bounded strongly convex symmetric sets and prove the natural generalization of the Kahane theorem.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2010__348_19-20_1103_0,
author = {Ashurov, Ravshan and Butaev, Almaz},
title = {The {Kahane} theorem for nonspherical partial sums of {Fourier} integrals},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {1103--1106},
publisher = {Elsevier},
volume = {348},
number = {19-20},
year = {2010},
doi = {10.1016/j.crma.2010.07.029},
language = {en},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.07.029/}
}
TY - JOUR AU - Ashurov, Ravshan AU - Butaev, Almaz TI - The Kahane theorem for nonspherical partial sums of Fourier integrals JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2010 SP - 1103 EP - 1106 VL - 348 IS - 19-20 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.07.029/ DO - 10.1016/j.crma.2010.07.029 LA - en ID - CRMATH_2010__348_19-20_1103_0 ER -
%0 Journal Article %A Ashurov, Ravshan %A Butaev, Almaz %T The Kahane theorem for nonspherical partial sums of Fourier integrals %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2010 %P 1103-1106 %V 348 %N 19-20 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.07.029/ %R 10.1016/j.crma.2010.07.029 %G en %F CRMATH_2010__348_19-20_1103_0
Ashurov, Ravshan; Butaev, Almaz. The Kahane theorem for nonspherical partial sums of Fourier integrals. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 19-20, pp. 1103-1106. doi : 10.1016/j.crma.2010.07.029. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.07.029/
[1] On the eigenfunction expansion of a piecewise smooth function, J. Fourier Anal. Appl., Volume 9 (2003) no. 1, pp. 67-76
[2] Sets of uniform convergence of Fourier expansions of piecewise smooth functions, J. Fourier Anal. Appl., Volume 10 (2004) no. 6, pp. 635-644
[3] Dependence of the convergence domain of spectral expansions on the geometry of the set of discontinuity of the function being expanded, Mat. Zametki, Volume 79 (2006) no. 2, pp. 178-193
[4] Multiple Fourier series and Fourier integrals, Commutative Harmonic Analysis, vol. IV, Springer-Verlag, 1992, pp. 1-97
[5] On the Pinsky phenomenon http://www.springerlink.com (J. Fourier Anal. Appl., available at:)
[6] The problem of the pointwise Fourier inversion for piecewise smooth functions of several variables, J. Fourier Anal. Appl., Volume 8 (2002) no. 4, pp. 399-406
[7] The Saddle-Point Method, Nauka, Moscow, 1977 (in Russian)
[8] Le phénomène de Pinsky et la géometrie des surfaces, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 321 (1995), pp. 1027-1029
[9] The expansion of a function that depends on a parameter in an absolutely converging Fourier series of eigenfunctions of a pseudodifferential operator, Uspekhi Mat. Nauk [Russian Math. Surveys], Volume 1 (1970) no. 151, pp. 195-196
[10] Absolute convergence properties of multidimensional Fourier series from the standpoint of the geometry of the weak discontinuities of the functions being expanded, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Volume 2 (1970) no. 191, pp. 275-278
[11] Elementary Differential Geometry, Academic Press, 1997
[12] Fourier inversion for piecewise smooth functions in several variables, Proc. AMS, Volume 118 (1993), pp. 903-910
[13] Pointwise Fourier inversion: A wave equation approach, J. Fourier Anal. Appl., Volume 3 (1997) no. 6, pp. 647-703
[14] The boundary uniqueness theorem in , Mat. Sb., Volume 101 (143) (1976) no. 4(12), pp. 568-583 (in Russian)
[15] Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1981 (451 pp)
Cité par Sources :
