L'objet de cette Note est de donner, dans un cadre analytique, un critère infinitésimal pour qu'un espace vectoriel soit localement homogène sous l'action d'un groupe. Dans le cas , un tel résultat a été démontré par Sergeraert dans sa thèse, en utilisant un théorème d'inversion locale dans les espaces de Fréchet (Sergeraert (1972) [4, Théorème 4.2.5 et Corollaire 4.2.6]) (voir également Moser (1966) [3], Zehnder (1976) [5]).
Notre approche diffère de celle de Sergeraert par l'usage direct de la structure de groupe sous-jacente. En suivant la méthode itérative utilisée par Kolmogorov et Arnold dans leur démonstration du théorème des tores invariants (Kolmogorov (1954) [2], Arnold (1963) [1]), elle fournit une réponse à l'heuristique donnée par Zehnder (1976) [5, Chap. 5].
In this Note, we give an infinitesimal criterion, in an analytic setting, for a vector space to be locally homogeneous under some group action. In the case, such a result was obtained by Sergeraert in his thesis, using an inverse function theorem in Fréchet spaces (Sergeraert (1972) [4, Theorem 4.2.5 and Corollary 4.2.6]) (see also Moser (1966) [3], Zehnder (1976) [5]).
Our approach differs from that of Sergeraert because we directly use the underlying group structure. By following the iterative method used by Kolmogorov and Arnold in the proof of the invariant tori theorem (Kolmogorov (1954) [2], Arnold (1963) [1]), it provides an answer to the heuristic question asked by Zehnder (1976) [5, Chap. 5].
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Féjoz, Jacques; Garay, Mauricio. Un théorème sur les actions de groupes de dimension infinie. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 7-8, pp. 427-430. doi : 10.1016/j.crma.2010.01.024. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.01.024/
[1] Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics, Uspekhi Mat. Nauk, Volume 18 (1963) no. 6(114), pp. 91-192
[2] On conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton's function, Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.), Volume 98 (1954), pp. 527-530
[3] A rapidly convergent iteration method and non-linear partial differential equations. I, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), Volume 20 (1966), pp. 265-315
[4] Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 5 (1972), pp. 599-660
[5] Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. II, Comm. Pure Appl. Math., Volume 29 (1976) no. 1, pp. 49-111
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