On considère un échantillon aléatoire suivant la loi normale , de taille . Conditionnellement à chaque , on définit un nouvel échantillon aléatoire suivant la loi normale ( est une notation introduite par commodité). Sous l'hypothèse que les n nouveaux échantillons aléatoires ainsi obtenus sont conditionnellement indépendants, on obtient un ensemble de points aléatoires de seconde génération. La question est d'étudier les propriétés de cet ensemble. On donne un théorème précisant la densité limite obtenue lorsque n tend vers l'infini, et on généralise ce théorème en étudiant ce qui se produit lorsque que l'on répète cette procédure jusqu'à obtenir, conditionnellement à chaque , de nouveaux échantillons aléatoires suivant la loi normale .
We consider a random sample of size from an Gaussian law. Then, conditionally on each , we define a new random sample from the normal distribution ( is notation introduced for convenience). Assuming that the so obtained n new random samples are conditionally independent, we get a second step randomly generated set of points. The question is to investigate the properties of this set. We give a theorem precising the limiting density obtained when n approaches infinity, and we generalize this theorem by studying what occurs when repeating this process until, conditionally on each , we get new random samples , from the normal distribution.
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El Otmani, Souad; Maul, Armand. Probability distributions arising from nested Gaussians. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 3-4, pp. 201-204. doi : 10.1016/j.crma.2009.01.009. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.01.009/
[1] S. Arora, R. Kannan, Learning mixtures of arbitrary Gaussians, in: Symposium on Theory of Computing (STOC), 2001
[2] S. Dasgupta, Learning mixtures of Gaussians, in: Proc. of Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 1999
[3] Finite Mixture Distributions, Chapman and Hall, New York, 1981
[4] Finite Mixture Models, Wiley, New York, 2000
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