Functional Analysis
Lp spaces of the von Neumann algebra of a measured groupoid
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 17-18, pp. 969-974.

The Hausdorff–Young inequality is well known for the Fourier transform in Rn. More recently, Hausdorff–Young inequalities were established for unimodular groups (Kunze, 1958) and non-unimodular groups (Terp, 1980). A version was also given for X×X by Russo (1977), where X denotes a measured space. In this Note, we first study the Lp-spaces of the von Neumann algebra of a groupoid, and propose identifications of some of them as function spaces. Using interpolation, we then give a Hausdorff–Young inequality for groupoids.

L'inégalité de Hausdorff–Young est bien connue pour la transformée de Fourier dans Rn. Plus récemment, une inégalité de Hausdorff–Young a été établie pour les groupes unimodulaires (Kunze, 1958) et pour les groupes non unimodulaires (Terp, 1980). Russo (1977) en a également donné une version pour X×X, où X est un espace mesuré. Dans cette Note, nous commençons par étudier les espaces Lp de l'algèbre de von Neumann d'un groupoïde, et nous proposons des identifications de certains d'entre eux avec des espaces de fonctions. En utilisant l'interpolation, on peut alors établir une inégalité de Hausdorff–Young pour les groupoïdes.

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DOI: 10.1016/j.crma.2008.07.020
Boivin, Patricia 1

1 Université d'Orléans, MAPMO, B.P. 6759, 45067 Orléans cedex 2, France
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Boivin, Patricia. $ {L}^{p}$ spaces of the von Neumann algebra of a measured groupoid. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 17-18, pp. 969-974. doi : 10.1016/j.crma.2008.07.020. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.07.020/

[1] Benadek, A.; Panzone, R. The spaces Lp with mixed norm, Duke Math. J., Volume 28 (1961), pp. 301-324

[2] Connes, A. On the spatial theory of von Neumann algebras, J. Funct. Anal., Volume 35 (1980), pp. 153-164

[3] Eymard, P. L'algèbre de Fourier d'un groupe localement compact, Bull. Soc. Math. France, Volume 92 (1964) no. 2, pp. 181-236

[4] Haagerup, U. Lp-spaces associated with an arbitrary von Neumann algebra, Marseille, 1977 (Colloq. Internat. CNRS), Volume vol. 274 (1979), pp. 175-184

[5] Hahn, P. Haar measure for measure groupoids, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 242 (1978)

[6] Hilsum, M. Les espaces Lp d'une algèbre de von Neumann définies par la dérivée spatiale, J. Funct. Anal., Volume 40 (1981), pp. 151-169

[7] Kato, T. Perturbation Theory for Linear Operators, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1976

[8] Kosaki, H. Applications of the complex interpolation method to a von Neumann algebra: Non-commutative Lp-spaces, J. Funct. Anal., Volume 56 (1984), pp. 29-78

[9] Kunze, R.A. Lp Fourier Transforms on locally compact unimodular groups, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 89 (1958), pp. 519-540

[10] Russo, B. On the Hausdorff–Young theorem for integral operators, Pacific J. Math., Volume 68 (1977), pp. 241-253

[11] Takesaki, M. Tomita's Theory of Modular Hilbert Algebras and its Applications, Lecture Notes in Math., vol. 128, Springer, 1970

[12] Takesaki, M. Theory of Operator Algebras T3, E.M.S., vol. 125, Springer, 2003

[13] M. Terp, Lp Fourier Transformation on non-unimodular locally compact groups, Kobenhavns Universitet Matematisk Institut, Preprint, 1980

[14] Terp, M. Interpolation spaces between a von Neumann algebra and its predual, J. Operator Theory, Volume 8 (1982), pp. 327-360

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