A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups

Baudoin, Fabrice

doi:10.1016/j.crma.2007.05.005

Partial Differential Equations

A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups
[Un Théorème de type Bismut pour les semi-groupes de la chaleur sous-elliptiques]

Présenté par : Paul Malliavin

Baudoin, Fabrice ¹

¹ Institut de mathématiques de Toulouse, Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 9, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 12, pp. 765-768.

Résumé
Abstract

Étant donné un opérateur sous-elliptique $L$ défini sur un fibré vectoriel $E$ au dessus d'une variété riemannienne compacte, nous étudions l'existence de $\lim_{t \to 0} σ (p_{t} (x, x))$ , où $p_{t}$ est le noyau de la chaleur du semi-groupe $e^{t L}$ et où σ is a linear map on $End (E_{x})$ est une application linéaire sur $End (E_{x})$ . Notre résultat contient en particulier le théorème de l'indice local d'Atiyah–Singer pour les opérateurs de Dirac sur les fibrés de Clifford. Notre approche repose sur une extension aux fibrés vectoriels du lien mis en avant par Rotschild et Stein qui existe entre les groupes de Lie nilpotents et l'asymptotique sur la diagonale d'un noyau de la chaleur sous-elliptique.

Given a general second order subelliptic differential operator $L$ defined on a vector bundle $E$ over a compact manifold, we study the existence of $\lim_{t \to 0} σ (p_{t} (x, x))$ , where $p_{t}$ is the heat kernel of $e^{t L}$ and σ is a linear map on $End (E_{x})$ . Our result contains as a special case the local Atiyah–Singer index theorem for Dirac operators on Clifford bundles. Our approach is based on an extension to fiber bundles of the link pointed out by Rotschild and Stein between Nilpotent Lie groups and subelliptic heat kernel asymptotics on the diagonal.

Reçu le : 2007-02-06
Accepté le : 2007-05-15
Publié le : 2007-06-15

DOI : 10.1016/j.crma.2007.05.005

Affiliations des auteurs :

Baudoin, Fabrice ¹

¹ Institut de mathématiques de Toulouse, Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 9, France

@article{CRMATH_2007__344_12_765_0,
     author = {Baudoin, Fabrice},
     title = {A {Bismut} type theorem for subelliptic heat semigroups},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {765--768},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {344},
     number = {12},
     year = {2007},
     doi = {10.1016/j.crma.2007.05.005},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.05.005/}
}

TY  - JOUR
AU  - Baudoin, Fabrice
TI  - A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2007
SP  - 765
EP  - 768
VL  - 344
IS  - 12
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.05.005/
DO  - 10.1016/j.crma.2007.05.005
LA  - en
ID  - CRMATH_2007__344_12_765_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Baudoin, Fabrice
%T A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2007
%P 765-768
%V 344
%N 12
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.05.005/
%R 10.1016/j.crma.2007.05.005
%G en
%F CRMATH_2007__344_12_765_0

Baudoin, Fabrice. A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 12, pp. 765-768. doi : 10.1016/j.crma.2007.05.005. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.05.005/

Bibliographie
Cité par

[1] Baudoin, F. An Introduction to the Geometry of Stochastic Flows, Imperial College Press, 2004

[2] Bismut, J.M. The Atiyah–Singer theorems: A probabilistic approach, Part I, J. Func. Anal., Volume 57 (1984) Part II: 57 (1984) 329–348

Cité par Sources :