Maximal solutions of the equation $ \mathrm{\Delta }u={u}^{q}$ in arbitrary domains

Marcus, Moshe; Véron, Laurent

doi:10.1016/j.crma.2007.01.002

Partial Differential Equations

Maximal solutions of the equation

Δ u = u^{q}

in arbitrary domains
[Solutions maximales de

Δ u = u^{q}

dans un domaine arbitraire]

Présenté par : Haïm Brezis

Marcus, Moshe ¹ ; Véron, Laurent ²

¹ Department of Mathematics, Technion, Haifa 32000, Israel
² Laboratoire de mathématiques et physique théorique, faculté des sciences, parc de Grandmont, 37200 Tours, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 5, pp. 299-304.

Résumé
Abstract

Nous démontrons une estimation capacitaire bilatérale de la solution maximale $U_{F}$ de $- Δ u + u^{q} = 0$ dans un domaine quelconque de $R^{N}$ impliquant la capacité de Bessel $C_{2, q^{'}}$ dans le cas sur-critique $q ⩾ q_{c} : = N / (N - 2)$ . Grâce à un critère de type Wiener, nous en déduisons une condition nécessaire et suffisante pour que cette solution maximale tende vers l'infini en un point du bord du domaine. Finalement nous prouvons un résultat général d'unicité des grandes solutions.

We prove bilateral capacitary estimates for the maximal solution $U_{F}$ of $- Δ u + u^{q} = 0$ in the complement of an arbitrary closed set $F \subset R^{N}$ , involving the Bessel capacity $C_{2, q^{'}}$ , for q in the supercritical range $q ⩾ q_{c} : = N / (N - 2)$ . We derive a pointwise necessary and sufficient condition, via a Wiener type criterion, in order that $U_{F} (x) \to \infty$ as $x \to y$ for given $y \in \partial F$ . Finally we prove a general uniqueness result for large solutions.

Accepté le : 2007-01-01
Publié le : 2007-02-09

DOI : 10.1016/j.crma.2007.01.002

Affiliations des auteurs :

Marcus, Moshe ¹ ; Véron, Laurent ²

¹ Department of Mathematics, Technion, Haifa 32000, Israel
² Laboratoire de mathématiques et physique théorique, faculté des sciences, parc de Grandmont, 37200 Tours, France

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Marcus, Moshe; Véron, Laurent. Maximal solutions of the equation $ \mathrm{\Delta }u={u}^{q}$ in arbitrary domains. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 5, pp. 299-304. doi : 10.1016/j.crma.2007.01.002. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.01.002/

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Cité par Sources :