Characterization of the kernel of the operator CURL CURL

Ciarlet, Philippe G.; Ciarlet, Patrick Jr.; Geymonat, Giuseppe; Krasucki, Françoise

doi:10.1016/j.crma.2007.01.001

Functional Analysis/Mathematical Problems in Mechanics

Characterization of the kernel of the operator CURL CURL
[Caractérisation du noyau de l'opérateur CURL CURL]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Ciarlet, Philippe G.¹ ; Ciarlet, Patrick Jr.² ; Geymonat, Giuseppe ³ ; Krasucki, Françoise ³

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Laboratoire POEMS, UMR 2706 CNRS/ENSTA/INRIA, École nationale supérieure de techniques avancées, 32, boulevard Victor, 75739 Paris cedex 15, France
³ Laboratoire de mécanique et de génie civil, UMR 5508, Université Montpellier II, place Eugène-Bataillon, 34695 Montpellier cedex 5, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 5, pp. 305-308.

Résumé
Abstract

Dans un domaine simplement connexe Ω de $R^{3}$ , le noyau de l'opérateur $CURL CURL$ agissant sur des champs de matrices symétriques de $L_{s}^{2} (Ω)$ dans $H_{s}^{−2} (Ω)$ , coïncide avec l'espace des champs de tenseurs de déformation linéarisés. Dans le cas de domaines non simplement connexes, Volterra a caractérisé ce noyau pour des champs réguliers. Dans cette Note, nous étendons ce résultat pour un domaine à frontière lipschitzienne et pour des champs dans $L_{s}^{2} (Ω)$ .

In a simply-connected domain Ω in $R^{3}$ , the kernel of the operator $CURL CURL$ acting on symmetric matrix fields from $L_{s}^{2} (Ω)$ to $H_{s}^{−2} (Ω)$ coincides with the space of linearized strain tensor fields. For not simply-connected domains, Volterra has characterized this kernel for smooth fields. Here we extend this result for domains with a Lipschitz-continuous boundary for fields in $L_{s}^{2} (Ω)$ .

Accepté le : 2006-12-22
Publié le : 2007-02-09

DOI : 10.1016/j.crma.2007.01.001

Affiliations des auteurs :

Ciarlet, Philippe G. ¹ ; Ciarlet, Patrick Jr. ² ; Geymonat, Giuseppe ³ ; Krasucki, Françoise ³

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TI  - Characterization of the kernel of the operator CURL CURL
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Ciarlet, Philippe G.; Ciarlet, Patrick Jr.; Geymonat, Giuseppe; Krasucki, Françoise. Characterization of the kernel of the operator CURL CURL. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 5, pp. 305-308. doi : 10.1016/j.crma.2007.01.001. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.01.001/

Bibliographie
Cité par

[1] Adams, R.A.; Fournier, J.J.F. Sobolev Spaces, Academic Press, 2003

[2] Amrouche, C.; Bernardi, C.; Dauge, M.; Girault, V. Vector potentials in three-dimensional non-smooth domains, Math. Meth. Appl. Sci., Volume 21 (1998), pp. 823-864

[3] Amrouche, C.; Ciarlet, P.G.; Gratie, L.; Kesavan, S. On the characterizations of matrix fields as linearized strain tensor fields, J. Math. Pures Appl., Volume 86 (2006), pp. 116-132

[4] Arnold, D.N.; Falk, R.S.; Winther, R. Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications, Acta Numer., Volume 15 (2006), pp. 1-155

[5] Ciarlet, P.G.; Ciarlet, P. Jr. Another approach to linearized elasticity and a new proof of Korn's inequality, Math. Models Meth. Appl. Sci., Volume 15 (2005), pp. 259-271

[6] Dauge, M. Elliptic Boundary Value Problems on Corner Domains, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1341, Springer-Verlag, 1988

[7] Geymonat, G.; Krasucki, F. Some remarks on the compatibility conditions in elasticity, Rend. Accad. Naz. Sci. XL, Volume 123 (2005), pp. 175-182

[8] Geymonat, G.; Krasucki, F. Beltrami's solutions of general equilibrium equations in continuum mechanics, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 342 (2006), pp. 359-363

[9] Gross, P.W.; Kotiuga, P.R. Electromagnetic Theory and Computation: A Topological Approach, MSRI Publications Series, Cambridge University Press, Cambridge, 2004

[10] Volterra, V. Sur l'équilibre des corps élastiques multiplement connexes, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 3ème Série, Volume 24 (1907), pp. 401-517

Cité par Sources :