On donne une version effective d'un résultat de Cohen, Shiga et Wolfart, généralisant aux espaces de Siegel de degré quelconque le théorème classique de Schneider sur l'invariant modulaire . Étant donné un point τ de l'espace de Siegel paramétrant une variété abélienne principalement polarisée définie sur , on obtient une minoration de la distance de τ aux points algébriques β de l'espace de Siegel, en fonction des données géométriques du problème. Pour cela, on établit une mesure d'indépendance linéaire simultanée pour les périodes d'intégrales abéliennes en utilisant la méthode de Baker.
We give an effective version of a result of Cohen, Shiga and Wolfart, which is a generalisation to the case of Siegel spaces of arbitrary degree, of the classical theorem of Schneider on the modular invariant . Given a point τ of the Siegel space parameterizing a principally polarised Abelian variety defined over , we obtain a lower bound for the distance between τ and algebraic points β of the Siegel space, in terms of the geometrical data of the problem. To achieve this, we establish a simultaneous measure of linear independence for periods of Abelian integrals, using Baker's method.
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Villani, Eric. Mesures de transcendance pour les points algébriques de fonctions modulaires de Siegel. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 1, pp. 1-4. doi : 10.1016/j.crma.2006.11.012. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.11.012/
[1] Périodes et isogénies des variétés abéliennes sur les corps de nombres (d'après D. Masser et G. Wüstholz), Astérisque, Volume 237 (1996), pp. 115-161
[2] Contributions to the theory of transcendental numbers, Math. Surveys Monogr., Volume 19 (1984)
[3] Humbert surfaces and transcendence properties of automorphic functions, Rocky Mountain J. Math., Volume 26 (1996), pp. 987-1001
[4] Fonctions thêta et points de torsions des variétés abéliennes, Compositio Math., Volume 78 (1991), pp. 121-160
[5] S. David. N. Hirata-Kohno, Linear forms in elliptic logarithms, manuscript, 2002
[6] Quelques résultats de transcendance liés à l'invariant modulaire j, J. Number Theory, Volume 25 (1987), pp. 184-200
[7] Mesures d'indépendance linéaires de logarithmes dans un groupe algébrique commutatif, Invent. Math., Volume 162 (2005), pp. 137-188
[8] Measures of simultaneous approximation for quasi-periods of Abelian varieties, J. Number Theory, Volume 94 (2002), pp. 136-176
[9] Approximations simultanées sur les groupes algébriques commutatifs, Compositio Math., Volume 86 (1993), pp. 9-96
[10] Tata Lectures on Theta. I, Progr. Math., vol. 28, Birkhäuser Boston, 1983
[11] Formes linéaires de logarithmes simultanées sur les groupes algébriques commutatifs, Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1986–87, Progr. Math., vol. 75, 1988, pp. 313-347
[12] Complex multiplication and automorphic functions, J. Reine Angew. Math., Volume 463 (1995), pp. 1-25
[13] Abelian Varieties with Complex Multiplication and Modular Functions, Princeton Math. Ser., vol. 46, 1998
[14] E. Villani, Mesures d'indépendance linéaire simultanées sur les périodes d'intégrales abéliennes, Thèse, Univ. Paris 6, Décembre 2005
[15] Algebraische Punkte auf analytischen Untergruppen algebraischer Gruppen, Ann. of Math.129 (1989), pp. 501-517
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