Admettant l'hypothèse de Schinzel et la finitude des groupes de Tate–Shafarevich des courbes elliptiques sur les corps de nombres, toute intersection lisse de deux quadriques dans l'espace projectif de dimension n satisfait au principe de Hasse si . Le même résultat vaut pour , c'est-à-dire pour les surfaces de del Pezzo de degré 4, lorsque le groupe de Brauer est réduit aux constantes et que la surface est suffisamment générale. Les preuves détaillées des résultats annoncés dans cette Note seront publiées ultérieurement.
Assuming Schinzel's hypothesis and the finiteness of Tate–Shafarevich groups of elliptic curves over number fields, smooth intersections of two quadrics in n-dimensional projective space satisfy the Hasse principle if . The same result holds for , i.e., for del Pezzo surfaces of degree 4, provided the Brauer group is reduced to constants and the surface is sufficiently general. Detailed proofs of the results announced herein will be published later on.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2006__342_4_223_0,
author = {Wittenberg, Olivier},
title = {Principe de {Hasse} pour les intersections de deux quadriques},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {223--227},
publisher = {Elsevier},
volume = {342},
number = {4},
year = {2006},
doi = {10.1016/j.crma.2005.12.005},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.12.005/}
}
TY - JOUR AU - Wittenberg, Olivier TI - Principe de Hasse pour les intersections de deux quadriques JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2006 SP - 223 EP - 227 VL - 342 IS - 4 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.12.005/ DO - 10.1016/j.crma.2005.12.005 LA - fr ID - CRMATH_2006__342_4_223_0 ER -
%0 Journal Article %A Wittenberg, Olivier %T Principe de Hasse pour les intersections de deux quadriques %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2006 %P 223-227 %V 342 %N 4 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.12.005/ %R 10.1016/j.crma.2005.12.005 %G fr %F CRMATH_2006__342_4_223_0
Wittenberg, Olivier. Principe de Hasse pour les intersections de deux quadriques. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 4, pp. 223-227. doi : 10.1016/j.crma.2005.12.005. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.12.005/
[1] Solubility of certain pencils of curves of genus 1, and of the intersection of two quadrics in , Proc. London Math. Soc. (3), Volume 83 (2001) no. 2, pp. 299-329
[2] Hasse principle for pencils of curves of genus one whose Jacobians have a rational 2-division point, close variation on a paper of Bender and Swinnerton-Dyer, Rational Points on Algebraic Varieties, Progr. Math., vol. 199, Birkhäuser, Basel, 2001, pp. 117-161
[3] La descente sur les variétés rationnelles, Journées de Géométrie Algébrique d'Angers, Juillet 1979, Sijthoff & Noordhoff, Alphen aan den Rijn, 1980, pp. 223-237
[4] Intersections of two quadrics and Châtelet surfaces, I, J. reine angew. Math., Volume 373 (1987), pp. 37-107
[5] Intersections of two quadrics and Châtelet surfaces, II, J. reine angew. Math., Volume 374 (1987), pp. 72-168
[6] Hasse principle for pencils of curves of genus one whose Jacobians have rational 2-division points, Invent. math., Volume 134 (1998) no. 3, pp. 579-650
[7] Rational points and zero-cycles on fibred varieties: Schinzel's hypothesis and Salberger's device, J. reine angew. Math., Volume 495 (1998), pp. 1-28
[8] Points algébriques sur les surfaces de del Pezzo, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A, Volume 284 (1977) no. 24, pp. 1531-1534
[9] Méthode des fibrations et obstruction de Manin, Duke Math. J., Volume 75 (1994) no. 1, pp. 221-260
[10] D. Harari, Variétés fibrées au-dessus de l'espace projectif, prépublication
[11] Some new Hasse principles for conic bundle surfaces, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1987–1988, Prog. Math., vol. 81, Birkhäuser, Boston, MA, 1990, pp. 283-305
[12] On the fibration method for proving the Hasse principle and weak approximation, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1988–1989, Prog. Math., vol. 91, Birkhäuser, Boston, MA, 1990, pp. 205-219
[13] Rational points on certain intersections of two quadrics, Egloffstein, 1993, de Gruyter, Berlin (1995), pp. 273-292
Cité par Sources :
