Sur les bornes inférieures de l'écart des variétés invariantes

Marco, Jean-Pierre

doi:10.1016/j.crma.2005.04.020

Systèmes dynamiques

Sur les bornes inférieures de l'écart des variétés invariantes

Présenté par : Charles-Michel Marle

Marco, Jean-Pierre ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 11, pp. 839-842.

Résumé
Abstract

Soit m un entier ⩾3, on pose $ℏ (r) = \frac{1}{2} (r_{1}^{2} + \dots + r_{m - 1}^{2}) + r_{m}$ pour $r \in R^{m}$ , et on considère un vecteur ${\bar{ω}}^{0} \in R^{m - 2}$ mal approché par les rationnels (au sens de l'approximation simultanée). Fixons $α > 1$ , $L > 0$ et $R > 1 + ‖ {\bar{ω}}^{0} ‖_{\infty}$ . Nous construisons une suite $(H_{N})$ de Hamiltoniens de classe $Gevrey - (α, L)$ sur $T^{m} \times {\bar{B}}_{\infty} (0, R)$ , qui converge vers ℏ lorsque $N \to \infty$ , tels que le système engendré par $H_{N}$ laisse invariant un tore hyperbolique de vecteur fréquence fixe $({\bar{ω}}^{0}, 1)$ , qui admet un point homocline en lequel la matrice d'écart des variétés invariantes est de la forme $diag (0, ν_{N}, \dots, ν_{N}, 0) \in M_{m} (R)$ , avec $ν_{N} ⩾ \exp (- c {(\frac{1}{ɛ_{N}})}^{\frac{1}{2 (α - 1) (m - 2)}})$ , où $ɛ_{N} : = ‖ H_{N} - ℏ ‖_{α, L}$ et $c > 0$ .

Let m be an integer ⩾3, set $ℏ (r) = \frac{1}{2} (r_{1}^{2} + \dots + r_{m - 1}^{2}) + r_{m}$ for $r \in R^{m}$ , and consider a badly approximable vector ${\bar{ω}}^{0} \in R^{m - 2}$ . Fix $α > 1$ , $L > 0$ and $R > 1 + ‖ {\bar{ω}}^{0} ‖_{\infty}$ . We construct a sequence $(H_{N})$ of $Gevrey - (α, L)$ Hamiltonian functions of $T^{m} \times {\bar{B}}_{\infty} (0, R)$ , which converges to ℏ when $N \to \infty$ , such that for each N the system generated by $H_{N}$ possesses a $(m - 1)$ -dimensional hyperbolic invariant torus with fixed frequency vector $({\bar{ω}}^{0}, 1)$ , which admits a homoclinic point with splitting matrix of the form $diag (0, ν_{N}, \dots, ν_{N}, 0) \in M_{m} (R)$ , with $ν_{N} ⩾ \exp (- c {(\frac{1}{ɛ_{N}})}^{\frac{1}{2 (α - 1) (m - 2)}})$ , where $ɛ_{N} : = ‖ H_{N} - ℏ ‖_{α, L}$ and $c > 0$ .

Reçu le : 2004-09-28
Accepté le : 2005-04-12
Publié le : 2005-05-11

DOI : 10.1016/j.crma.2005.04.020

Affiliations des auteurs :

Marco, Jean-Pierre ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France

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Marco, Jean-Pierre. Sur les bornes inférieures de l'écart des variétés invariantes. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 11, pp. 839-842. doi : 10.1016/j.crma.2005.04.020. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.04.020/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :