no. 12
Optimal Control
Differentiability of the L1-tracking functional linked to the Robin inverse problem
[Différentiabilité d'une L1 fonctionnelle écart liée au problème inverse de Robin]

Présenté par : Gilles Lebeau

Chaabane, S.1, 2, 3 ; Ferchichi, J.3, 4 ; Kunisch, K.3
1 ENIT-LAMSIN, campus Universitaire, BP 37, 1002 Tunis, Tunisia
2 Faculté des sciences de Sfax, 3038, Sfax, Tunisia
3 Department of Mathematics, University of Graz, Austria
4 Faculté des sciences de Monastir, Monastir, Tunisia
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 12, pp. 771-776.

On s'intéresse dans ce travail à l'étude d'un problème inverse d'identification du coefficient de Robin ϕinv par la mesure du potentiel électrostatique f sur une surface de mesure M du bord accessible dans le cas 2D. Après avoir prouvé un résultat d'identifiabilité, on transforme ce problème inverse en un problème d'optimisation dans un cas non standard : la fonction coût ℱ modélise l'écart L1 entre la solution uϕ du problème direct de Robin et les mesures f sur M. L'avantage de cette méthode est qu'elle est plus robuste au bruit que celle du moindre-carré (Huber, 1969). Après avoir prouvé quelques propriétés de positivité, de monotonicité et de contrôle de la dérivée u1ϕ de l'état, on démontre en utilisant des outils d'analyse complexe que la fonctionnelle ℱ est différentiable bien qu'on travaille avec la norme L1.

We investigate the inverse problem of identifying the Robin parameter ϕinv by measuring the electrostatic potential f on a part M of the accessible boundary of a two-dimesional domain. After proving an identifiability result, the inverse problem is formulated as an optimization problem in a non-standard way: the cost functional ℱ measures L1-gap between the solution uϕ of the direct Robin problem and the measurement f on M, and thus it is more robust against outliniers than least-squares formulations (Huber, 1969). Positivity, monotonicity and control properties of the state derivative u1ϕ are proved. Tools of complex analysis allow differentiability of ℱ in spite of the fact that we work with the L1-norm.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2003.10.023
Chaabane, S. 1, 2, 3 ; Ferchichi, J. 3, 4 ; Kunisch, K. 3

1 ENIT-LAMSIN, campus Universitaire, BP 37, 1002 Tunis, Tunisia
2 Faculté des sciences de Sfax, 3038, Sfax, Tunisia
3 Department of Mathematics, University of Graz, Austria
4 Faculté des sciences de Monastir, Monastir, Tunisia 
@article{CRMATH_2003__337_12_771_0,
     author = {Chaabane, S. and Ferchichi, J. and Kunisch, K.},
     title = {Differentiability of the {\protect\emph{L}\protect\textsuperscript{1}-tracking} functional linked to the {Robin} inverse problem},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {771--776},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {337},
     number = {12},
     year = {2003},
     doi = {10.1016/j.crma.2003.10.023},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.023/}
}
TY  - JOUR
AU  - Chaabane, S.
AU  - Ferchichi, J.
AU  - Kunisch, K.
TI  - Differentiability of the L1-tracking functional linked to the Robin inverse problem
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 771
EP  - 776
VL  - 337
IS  - 12
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.023/
DO  - 10.1016/j.crma.2003.10.023
LA  - en
ID  - CRMATH_2003__337_12_771_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Chaabane, S.
%A Ferchichi, J.
%A Kunisch, K.
%T Differentiability of the L1-tracking functional linked to the Robin inverse problem
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 771-776
%V 337
%N 12
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.023/
%R 10.1016/j.crma.2003.10.023
%G en
%F CRMATH_2003__337_12_771_0
Chaabane, S.; Ferchichi, J.; Kunisch, K. Differentiability of the L1-tracking functional linked to the Robin inverse problem. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 12, pp. 771-776. doi : 10.1016/j.crma.2003.10.023. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.023/

[1] S. Chaabane, C. Elhechmi, M. Jaoua, A stable recovery method for the Robin inverse problem, Rapport de Recherche LAMSIN, No. 03-02, 2003, submitted for publication

[2] Chaabane, S.; Jaoua, M.; Leblond, J. Parameter identification for Laplace equation and approximation in analytic classes, J. Inv. Ill-Posed Problems, Volume 11 (2003) no. 1, pp. 1-25

[3] Chaabane, S.; Jaoua, M. Identification of Robin coefficients by the means of boundary measurements, Inverse Problems, Volume 15 (1999), pp. 1425-1438

[4] S. Chaabane, I. Fellah, M. Jaoua, J. Leblond, Logarithmic stability estimates for a Robin coefficient in 2D Laplace inverse problems, Inverse Problems (2003), in press

[5] M. Choulli, An inverse problem in corrosion detection: stability estimates (2001), submitted for publication

[6] Fasino, D.; Inglese, G. An inverse Robin problem for Laplace's equation: theoretical results and numerical methods, Inverse Problems, Volume 15 (1999), pp. 41-48

[7] Huber, J. Théorie de l'Inférence Statistique Robuste, Les presses de l'Université de Montréal, 1969

[8] Inglese, G. An inverse problem in corresion detection, Inverse Problem, Volume 13 (1997), pp. 977-994

[9] Kaup, P.; Santosa, F.; Vogelius, M. A method for imaging corresion damage in thin plates from electrostatic data, Inverse Problem, Volume 12 (1996), pp. 279-293

Cité par Sources :