[L'équation mKdV sur un intervalle borné]
Nous étudions un problème aux limites pour l'équation mKdV en exprimant la solution en termes de la solution d'un problème de Riemann–Hilbert matriciel associé dans le plan complexe du paramètre spectral k. Ce problème de Riemann–Hilbert dépend de façon explicite de x et t. Il est déterminé par des fonctions de k appelées « fonctions spectrales ». Certaines d'entre elles sont définies en termes des données de Cauchy q(x,0)=q0(x), tandis que les autres sont définies par deux ensembles de valeurs aux limites. Nous démontrons que ces fonctions spectrales vérifient une « relation globale » algébrique qui caractérise les valeurs aux limites en termes spectraux.
We analyse an initial-boundary value problem for the mKdV equation on a finite interval by expressing the solution in terms of the solution of an associated matrix Riemann–Hilbert problem in the complex k-plane. This Riemann–Hilbert problem has explicit (x,t)-dependence and it involves certain functions of k referred to as “spectral functions”. Some of these functions are defined in terms of the initial condition q(x,0)=q0(x), while the remaining spectral functions are defined in terms of two sets of boundary values. We show that the spectral functions satisfy an algebraic “global relation” that characterize the boundary values in spectral terms.
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Boutet de Monvel, Anne; Shepelsky, Dmitry. The modified KdV equation on a finite interval. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 8, pp. 517-522. doi : 10.1016/j.crma.2003.09.009. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.009/
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