Théorèmes d'existence pour des équations avec l'opérateur « 1-Laplacien », première valeur propre pour −Δ1
[Some existence results for partial differential equations involving the 1-Laplacian: Eigenvalues for −Δ1]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 12, pp. 1071-1076.

We consider partial differential equations of the form

{- div σ=f(x,u),u0,u¬0,u BV (Ω),σ·u=|u| in Ω,|σ| L (Ω) 1,σ·n (-u)=u on Ω,
where Ω is some smooth bounded domain in N , u BV (Ω) and f(x,u)L N (Ω). We consider the case where f=cte, define the first eigenvalue λ1 for −div(σ(u)), and study eigenfunctions. We consider then for λλ1 some necessary and sufficient conditions on f and the first eigenfunctions for existence of nontrivial solutions to
- div σ(u)=λ+ fu q-1
(with boundary conditions), fL (Ω), and 1<q⩽1=N/(N−1).

On considère des équations de la forme

{- div σ=f(x,u),u0,u¬0,u BV (Ω),σ·u=|u| in Ω,|σ| L (Ω) 1,σ·n (-u)=u on Ω,
Ω est un domaine borné de N , u BV (Ω) et f(x,u)L N (Ω). On s'interesse au cas où f est constante et en particulier on définit la première valeur propre λ1 pour −div(σ(u)), on étudie les premières fonctions propres. Ensuite on considère pour λ>λ1 des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de solutions non triviales et non négatives pour l'équation
- div σ(u)=λ+ fu q-1
(avec des conditions aux limites) et fL (Ω), 1<q⩽1=N/(N−1).

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DOI: 10.1016/S1631-073X(02)02405-6
Demengel, Françoise 1

1 University of Cergy-Pontoise, site de Saint-Martin, 2, avenue Adolphe Chauvin, 95 000 Cergy-Pontoise, France
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Demengel, Françoise. Théorèmes d'existence pour des équations avec l'opérateur « 1-Laplacien », première valeur propre pour −Δ1. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 12, pp. 1071-1076. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02405-6. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02405-6/

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Cited by Sources: