Théorèmes d'existence pour des équations avec l'opérateur « 1-Laplacien », première valeur propre pour −Δ1
[Some existence results for partial differential equations involving the 1-Laplacian: Eigenvalues for −Δ1]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 12, pp. 1071-1076.

We consider partial differential equations of the form

 $\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{div}\sigma =f\left(x,u\right),u⩾0,\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}u¬\equiv 0,\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}u\in \mathrm{BV}\left(\Omega \right),\hfill \\ \sigma ·\nabla u={|\nabla u|\mathrm{in}\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}\Omega ,|\sigma |}_{{\mathrm{L}}^{\infty }\left(\Omega \right)}⩽1,\hfill \\ \sigma ·\stackrel{\to }{n}\left(-u\right)=u\mathrm{on}\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}\partial \Omega ,\hfill \end{array}$
where $\Omega$ is some smooth bounded domain in ${ℝ}^{N}$, $\mathrm{u}\in \mathrm{BV}\left(\Omega \right)$ and $\mathrm{f}\left(\mathrm{x},\mathrm{u}\right)\in {\mathrm{L}}^{N}\left(\Omega \right)$. We consider the case where f=cte, define the first eigenvalue λ1 for −div(σ(u)), and study eigenfunctions. We consider then for λλ1 some necessary and sufficient conditions on f and the first eigenfunctions for existence of nontrivial solutions to
 $-\mathrm{div}\left(\sigma \left(\mathrm{u}\right)\right)=\lambda +{\mathrm{fu}}^{\mathrm{q}-1}$
(with boundary conditions), $\mathrm{f}\in {\mathrm{L}}^{\infty }\left(\Omega \right)$, and 1<q⩽1=N/(N−1).

On considère des équations de la forme

 $\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{div}\sigma =f\left(x,u\right),u⩾0,\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}u¬\equiv 0,\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}u\in \mathrm{BV}\left(\Omega \right),\hfill \\ \sigma ·\nabla u={|\nabla u|\mathrm{in}\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}\Omega ,|\sigma |}_{{\mathrm{L}}^{\infty }\left(\Omega \right)}⩽1,\hfill \\ \sigma ·\stackrel{\to }{n}\left(-u\right)=u\mathrm{on}\phantom{\rule{3.30002pt}{0ex}}\partial \Omega ,\hfill \end{array}$
$\Omega$ est un domaine borné de ${ℝ}^{N}$, $\mathrm{u}\in \mathrm{BV}\left(\Omega \right)$ et $\mathrm{f}\left(\mathrm{x},\mathrm{u}\right)\in {\mathrm{L}}^{N}\left(\Omega \right)$. On s'interesse au cas où f est constante et en particulier on définit la première valeur propre λ1 pour −div(σ(u)), on étudie les premières fonctions propres. Ensuite on considère pour λ>λ1 des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de solutions non triviales et non négatives pour l'équation
 $-\mathrm{div}\left(\sigma \left(\mathrm{u}\right)\right)=\lambda +{\mathrm{fu}}^{\mathrm{q}-1}$
(avec des conditions aux limites) et $\mathrm{f}\in {\mathrm{L}}^{\infty }\left(\Omega \right)$, 1<q⩽1=N/(N−1).

Accepted:
Published online:
DOI: 10.1016/S1631-073X(02)02405-6
Demengel, Françoise 1

1 University of Cergy-Pontoise, site de Saint-Martin, 2, avenue Adolphe Chauvin, 95 000 Cergy-Pontoise, France
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Demengel, Françoise. Théorèmes d'existence pour des équations avec l'opérateur « 1-Laplacien », première valeur propre pour −Δ1. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 12, pp. 1071-1076. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02405-6. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02405-6/

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Cited by Sources: