Automate des préfixes-suffixes associé à une substitution primitive
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, p. 353-369
On explicite une conjugaison en mesure entre le décalage sur le système dynamique associé à une substitution primitive et une transformation adique sur le support d'un sous-shift de type fini, à savoir l'ensemble des chemins d'un automate dit des préfixes-suffixes. En caractérisant les préimages par la conjugaison des chemins périodiques de l'automate, on montre que cette conjugaison est injective sauf sur un ensemble dénombrable, sur lequel elle est finie-à-un. On en déduit l'existence d'une suite de partitions du système qui est génératrice en mesure et une application aux fractals de Rauzy est donnée.
We prove that a dynamical system Ω arising from a primitive substitution is measurably conjugate to an adic transformation on a subshift of finite type defined as the set of paths on a graph. The conjugation map is one-to-one except on the orbit of periodic points of Ω, on which it is finite-to-one. We deduce a sequence of partitions of Ω which is is generating in measure. An application to Rauzy fractals is given. 
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Canterini, Vincent; Siegel, Anne. Automate des préfixes-suffixes associé à une substitution primitive. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 353-369. http://www.numdam.org/item/JTNB_2001__13_2_353_0/

[1] V. Canterini, A. Siegel, Geometric representation of primitive substitutions of Pisot type. À paraître dans Trans. Amer. Math. Soc. (2001). | MR 1852097 | Zbl 01663181

[2] E.M. Coven, M.S. Keane, The structure of substitution minimal sets. Trans. Amer. Math. Soc. 162 (1971), 89-102. | MR 284995 | Zbl 0205.28303

[3] F.M. Dekking, The spectrum of dynamical systems arising from substitutions of constant length. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 41 (1978), 221-239. | MR 461470 | Zbl 0348.54034

[4] J.-M. Dumont, A. Thomas, Systèmes de numération et fonctions fractales relatifs aux substitutions. Theoret. Comput. Sci. 65 (1989), 153-169. | MR 1020484 | Zbl 0679.10010

[5] F. Durand, B. Host, C. Skau, Substitutional dynamical systems, Bratteli diagrams and dimension groups. Ergodic Theory Dynam. Systems 19 (1999), 953-993. | MR 1709427 | Zbl 1044.46543

[6] P.J. Grabner, P. Liardet, R.F. Tichy, Odometers and systems of numeration. Acta Arith. 70 (1995), 103-123. | MR 1322556 | Zbl 0822.11008

[7] R.H. Herman, I.F. Putnam, C.F. Skau, Ordered Bratteli diagrams, dimension groups and topological dynamics. Internat. J. Math. 3 (1992), 827-864. | MR 1194074 | Zbl 0786.46053

[8] C. Holton, L.Q. Zamboni, Geometric realizations of substitutions. Bull. Soc. Math. France 126 (1998), 149-179. | Numdam | MR 1675970 | Zbl 0931.11004

[9] C. Holton, L.Q. Zamboni, Directed graphs and substitutions. Preprint, 1999. | MR 1865811

[10] T. Kamae, Linear expansions, strictly ergodic homogeneous cocycles and fractals. Israel J. Math. 106 (1998), 313-337. | MR 1656897 | Zbl 0914.28014

[11] D. Lind, B. Marcus, An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. | MR 1369092 | Zbl 00822672

[12] A.N. Livshits, Sufficient conditions for weak mixing of substitutions and of stationary adic transformations. Mat. Zametki 44 (1988), 785-793. English translation: Math. Notes 44 (1988), 920-925. | MR 983550 | Zbl 0713.28011

[13] A. Maes, Morphic predicates and applications to the decidability of arithmetic theories. Thèse de doctorat, Université de Mons-Hainault, 1999.

[14] J.C. Martin, Minimal flows arising from substitutions of non-constant length. Math. Systems Theory 7 (1973), 73-82. | MR 324679 | Zbl 0256.54026

[15] B. Mossé, Reconnaissabilité des substitutions et complexité des suites automatiques. Bull. Soc. Math. France 124, (1996), 329-346. | Numdam | MR 1414542 | Zbl 0855.68072

[16] P. Narbel, The boundary of iterated morphisms on free semi-groups. Internat. J. Algebra Comput. 6 (1996), 229-260. | MR 1386075 | Zbl 0852.68074

[17] M. Queffélec, Substitution dynamical systems-spectral analysis. Lecture Notes in Mathematics 1294, Springer-Verlag, Berlin, 1987. | MR 924156 | Zbl 0642.28013

[18] G. Rauzy, Nombres algébriques et substitutions. Bull. Soc. Math. France 110 (1982), 147-178. | Numdam | MR 667748 | Zbl 0522.10032

[19] G. Rauzy, Rotations sur les groupes, nombres algébriques, et substitutions. Dans Séminaire de Théorie des Nombres, 1987- 1988 (Talence, 1987-1988), Univ. Bordeaux I, Talence, 1988. Exp. No. 21. | MR 993118 | Zbl 0726.11019

[20] V.F. Sirvent, Modelos geométricos asociados a substituciones. Trabajo de ascenso, Universidad Simón Bolivar, 1998.

[21] A.M. Vershik, Uniform algebraic approximation of shift and multiplication operators. Dokl. Akad. Nauk SSSR 259 (1981), 526-529. English translation: Soviet Math. Dokl. 24 (1981), 97-100. | MR 625756 | Zbl 0484.47005