Lower powers of elliptic units
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, p. 339-351
Dans un article antérieur [Sch2] il est démontré que les corps de classes de rayon d'un corps quadratique imaginaire possèdent comme générateurs des produits simples de valeurs singulières de la forme de Klein defini plus bas. Dans l'article présent le deuxième auteur a généralisé les résultats de [Sch2] et en même temps corrigé une erreur dans le Théorème 2 de [Sch2]. Le premier auteur a implémenté le calcul de ces produits dans un programme de KASH et ainsi effectué le calcul des exemples en fin d'article. Ces exemples, ainsi que les cas particuliers traités dans [Sch2], démontrent, que les nombres définis par le Théorème 1 ont des polynômes minimaux à très petits coefficients. En plus, à part des exceptions triviales, ces produits de valeurs singulières constituent même des générateurs, ce qui mène à la conjecture énoncée après le Théorème 1.
In the previous paper [Sch2] it has been shown that ray class fields over quadratic imaginary number fields can be generated by simple products of singular values of the Klein form defined below. In the present article the second named author has constructed more general products that are contained in ray class fields thereby correcting Theorem 2 of [Sch2]. An algorithm for the computation of the algebraic equations of the numbers in Theorem 1 of this paper has been implemented in a KASH program by the first named author, who also calculated the list of examples at the end of this article. As in the special cases treated in [Sch2] these examples exhibit again that the coefficients of the algebraic equations are rather small. Moreover, apart from trivial exceptions, all numbers computed so far turn out to be generators of the corresponding ray class field, thereby suggesting the conjecture formulated more precisely after Theorem 1.
@article{JTNB_2001__13_2_339_0,
     author = {Bettner, Stefan and Schertz, Reinhard},
     title = {Lower powers of elliptic units},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {13},
     number = {2},
     year = {2001},
     pages = {339-351},
     zbl = {1003.11026},
     mrnumber = {1879662},
     language = {en},
     url = {http://http://www.numdam.org/item/JTNB_2001__13_2_339_0}
}
Bettner, Stefan; Schertz, Reinhard. Lower powers of elliptic units. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 339-351. http://www.numdam.org/item/JTNB_2001__13_2_339_0/

[De] M. Deuring, Die Klassenkörper der komplexen Multiplikation. Enzykl. d. math. Wiss. 1/2, 2. Aufl., Heft 10, Stuttgart, 1958. | MR 167481 | Zbl 0123.04001

[La] S. Lang, Elliptic functions. Addison Wesley, 1973. | MR 409362 | Zbl 0316.14001

[Me] C. Meyer, Über einige Anwendungen Dedekindscher Summen. Journal Reine Angew. Math. 198 (1957), 143-203. | MR 104643 | Zbl 0079.10303

[Ro] G. Robert, La racine 12-ième canonique de Δ(L)[L:L]/Δ(L) Sém. de th. des nombres Paris, 1989-90.

[Sch1] R. Schertz, Niedere Potenzen elliptischer Einheiten. Proc. of the International Conference on Class Numbers and Fundamental Units of Algebraic Number Fields, Katata, Japan (1986), 67-87. | MR 891888 | Zbl 0615.12013

[Sch2] R. Schertz, Construction of Ray Class Fields by Elliptic Units. J. Théor. Nombres Bordeaux 9 (1997), 383-394. | Numdam | MR 1617405 | Zbl 0902.11047

[St] H. Stark, L-functions at s = 1, IV. Adv. Math. 35 (1980), 197-235. | MR 563924 | Zbl 0475.12018