Capitulation and transfer kernels
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 12 (2000) no. 1, p. 219-226

If K/k is a finite Galois extension of number fields with Galois group G, then the kernel of the capitulation map Cl k Cl K of ideal class groups is isomorphic to the kernel X(H) of the transfer map H/H ' A, where H=Gal(K ˜/k),A=Gal(K ˜/K) and K ˜ is the Hilbert class field of K. H. Suzuki proved that when G is abelian, |G| divides |X(H)|. We call a finite abelian group X a transfer kernel for G if XX(H) for some group extension AHG. After characterizing transfer kernels in terms of integral representations of G, we show that X is a transfer kernel for the abelian group G if and only if |G|X=0 and |G| divides |X|. Our arguments give a new proof of Suzuki’s result.

On sait que pour une extension galoisienne finie K/k d'un corps de nombres, le noyau du morphisme d'extension Cl k Cl K s'identifie au noyau X(H) du transfert H/H ' A,HA, où H= Gal(K ˜/k), et K ˜ est le corps de classes de Hilbert de K. Lorsque le groupe G= Gal(K ˜/k) est abélien, H. Suzuki a montré que |G| divise |X(H)|. Nous appelons noyau de transfert pour G tout groupe abélien fini X qui s'écrit X(H) pour un certain groupe H tel que AHG. Après avoir caractérisé les noyaux de transfert en termes de représentations entières de G, nous montrons que X est un noyau de transfert pour le groupe abélien G si et seulement si on a |G|X=0 et |G| divise |X|, ce qui fournit une nouvelle démonstration du résultat de Suzuki.

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Gruenberg, K. W.; Weiss, A. Capitulation and transfer kernels. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 12 (2000) no. 1, pp. 219-226. http://www.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_219_0/

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