Comportement harmonique des densités conformes et frontière de Martin
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 1, pp. 97-127.

Traitant la série de Poincaré d'un groupe discret d'isométries en courbure négative comme un noyau de Green, on établit une théorie du potentiel assez comparable à la théorie classique pour affirmer un parallèle entre densités conformes à la Patterson-Sullivan et densités harmoniques, et notamment définir une frontière de Martin où les densités ergodiques forment la partie minimale, et enfin l'identifier géométriquement sous hypothèse d'hyperbolicité.

By treating the Poincaré series of a discrete group of isometries in negative curvature like a Green kernel, we set up a potential theory enough comparable to the classical theory, which allows us to draw a parallel between conformal densities and harmonic densities, and in particular to define a Martin boundary in which ergodic densities make up the minimal part, and even to give a geometrical identification of it under a hyperbolicity assumption.

DOI : 10.24033/bsmf.2602
Classification : 37F35, 20F65, 20F67, 22E40, 31C35, 31E99
Mot clés : Mesures de Patterson-Sullivan, groupes discrets, courbure négative, théorie du potentiel, frontière de Martin, groupes hyperboliques
Keywords: Patterson-Sullivan measures, discrete groups, negative curvature, potential theory, Martin boundary, hyperbolic groups
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Roblin, Thomas. Comportement harmonique des densités conformes et frontière de Martin. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 1, pp. 97-127. doi : 10.24033/bsmf.2602. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2602/

[1] A. Ancona - « Negatively curved manifolds, elliptic operators, and the Martin boundary », Ann. of Math. 125 (1987), p. 495-536. | MR | Zbl

[2] -, « Théorie du potentiel sur les graphes et les variétés », in École d'été de Probabilités de Saint-Flour XVIII-1988, Lecture Notes in Math., vol. 1427, Springer, 1990, p. 1-112. | Zbl

[3] W. Ballmann - Lectures on spaces of nonpositive curvature, DMV Seminar, vol. 25, Birkhäuser, 1995. | MR | Zbl

[4] W. Ballmann & F. Ledrappier - « Discretization of positive harmonic functions on Riemannian manifolds and Martin boundary », in Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992), Sémin. Congr., vol. 1, Soc. Math. France, 1996, p. 77-92. | MR | Zbl

[5] A. F. Beardon - The geometry of discrete groups, Graduate Texts in Math., vol. 91, Springer, 1983. | MR | Zbl

[6] M. Bourdon - « Structure conforme au bord et flot géodésique d’un CAT (-1)-espace », Enseign. Math. 41 (1995), p. 63-102. | MR | Zbl

[7] G. Choquet - « Les noyaux réguliers en théorie du potentiel », C. R. Acad. Sci. Paris 243 (1956), p. 635-638. | MR | Zbl

[8] -, Lectures on analysis. Vol. II : Representation theory, Edited by J. Marsden, T. Lance and S. Gelbart, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969. | MR | Zbl

[9] C. Connell & R. Muchnik - « Harmonicity of quasiconformal measures and Poisson boundaries of hyperbolic spaces », Geom. Funct. Anal. 17 (2007), p. 707-769. | MR | Zbl

[10] C. Dellacherie & P.-A. Meyer - Probabilities and potential, North-Holland Mathematics Studies, vol. 29, North-Holland Publishing Co., 1978. | MR | Zbl

[11] E. Ghys & P. De La Harpe (éds.) - Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov, Progress in Math., vol. 83, Birkhäuser, 1990. | MR | Zbl

[12] M. Gromov - « Hyperbolic groups », in Essays in group theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 8, Springer, 1987, p. 75-263. | MR | Zbl

[13] F. Ledrappier - « Harmonic measures and Bowen-Margulis measures », Israel J. Math. 71 (1990), p. 275-287. | MR | Zbl

[14] T. Lyons & D. Sullivan - « Function theory, random paths and covering spaces », J. Differential Geom. 19 (1984), p. 299-323. | MR | Zbl

[15] R. S. Martin - « Minimal positive harmonic functions », Trans. Amer. Math. Soc. 49 (1941), p. 137-172. | JFM | MR

[16] M. Ohtsuka - « Les relations entre certains principes en théorie du potentiel », Proc. Japan Acad. 33 (1957), p. 37-40. | MR | Zbl

[17] S. J. Patterson - « The limit set of a Fuchsian group », Acta Math. 136 (1976), p. 241-273. | MR | Zbl

[18] T. Roblin - « Sur la fonction orbitale des groupes discrets en courbure négative », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 52 (2002), p. 145-151. | Numdam | MR | Zbl

[19] -, « Ergodicité et unique ergodicité du feuilletage horosphérique, mélange du flot géodésique et équidistributions diverses dans les groupes discrets en courbure négative », Mém. Soc. Math. Fr. 95 (2003).

[20] -, « Un théorème de Fatou pour les densités conformes avec applications aux revêtements galoisiens en courbure négative », Israel J. Math. 147 (2005), p. 333-357. | MR | Zbl

[21] D. Sullivan - « The density at infinity of a discrete group of hyperbolic motions », Publ. Math. I.H.É.S. 50 (1979), p. 171-202. | Numdam | MR | Zbl

[22] -, « Related aspects of positivity in Riemannian geometry », J. Differential Geom. 25 (1987), p. 327-351. | MR | Zbl

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