Integral representations for solutions of exponential Gauß-Manin systems
[Représentations intégrales des solutions des systèmes de Gauß-Manin exponentiels]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 4, pp. 505-532.

Soient f,g:U𝔸 1 deux fonctions régulières sur une variété affine lisse U à valeurs dans la droite affine. On leurs associe des systèmes de Gauß-Manin sur la droite affine définis comme étant les faisceaux de cohomology de l’image directe par f du système différentiel exponentiel 𝒪 U e g . Nous prouvons que leurs solutions holomorphes admettent des représentations sous forme d’intégrales de périodes sur des chaînes topologiques à support éventuellement fermé avec une condition de décroissance rapide.

Let f,g:U𝔸 1 be two regular functions from the smooth affine complex variety U to the affine line. The associated exponential Gauß-Manin systems on the affine line are defined to be the cohomology sheaves of the direct image of the exponential differential system 𝒪 U e g with respect to f. We prove that its holomorphic solutions admit representations in terms of period integrals over topological chains with possibly closed support and with rapid decay condition.

DOI : 10.24033/bsmf.2564
Classification : 32S40, 32C38, 14F40
Keywords: gauß-Manin systems, $\mathcal {D} $-modules
Mot clés : systèmes de gauß-Manin, $\mathcal {D}$-modules
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Hien, Marco; Roucairol, Céline. Integral representations for solutions of exponential Gauß-Manin systems. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 4, pp. 505-532. doi : 10.24033/bsmf.2564. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2564/

[1] S. Bloch & H. Esnault - « Homology for irregular connections », J. Théor. Nombres Bordeaux 16 (2004), p. 357-371. | Numdam | MR | Zbl

[2] A. Borel - Algebraic 𝒟-modules, Perspectives in Math., vol. 2, Academic Press, 1987. | Zbl

[3] A. Dimca, F. Maaref, C. Sabbah & M. Saito - « Dwork cohomology and algebraic 𝒟-modules », Math. Ann. 318 (2000), p. 107-125. | MR | Zbl

[4] A. Dimca & M. Saito - « On the cohomology of a general fiber of a polynomial map », Compositio Math. 85 (1993), p. 299-309. | Numdam | MR | Zbl

[5] M. Hien - « Periods for irregular singular connections on surfaces », Math. Ann. 337 (2007), p. 631-669. | MR | Zbl

[6] N. M. Katz - « On the calculation of some differential Galois groups », Invent. Math. 87 (1987), p. 13-61. | MR | Zbl

[7] F. Maaref - « Sur un analogue irrégulier de la connexion de Gauss-Manin », Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 8 (1999), p. 117-124. | Numdam | MR | Zbl

[8] H. Majima - Asymptotic analysis for integrable connections with irregular singular points, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1075, Springer, 1984. | MR | Zbl

[9] B. Malgrange - Équations différentielles à coefficients polynomiaux, Progress in Mathematics, vol. 96, Birkhäuser, 1991. | MR | Zbl

[10] F. Pham - Singularités des systèmes différentiels de Gauss-Manin, Progress in Mathematics, vol. 2, Birkhäuser, 1979. | Zbl

[11] -, « La descente des cols par les onglets de Lefschetz, avec vues sur Gauss-Manin », Astérisque 130 (1985), p. 11-47. | Numdam | MR | Zbl

[12] -, Intégrales singulières, Savoirs Actuels, EDP Sciences/CNRS Éditions, 2005. | Zbl

[13] C. Roucairol - « Irregularity of an analogue of the Gauss-Manin systems », Bull. Soc. Math. France 134 (2006), p. 269-286. | Numdam | MR | Zbl

[14] -, « The irregularity of the direct image of some 𝒟-modules », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 42 (2006), p. 923-932. | MR | Zbl

[15] -, « Formal structure of direct image of holonomic 𝒟-modules of exponential type », Manuscripta Math. 124 (2007), p. 299-318. | MR | Zbl

[16] C. Sabbah - « Équations différentielles à points singuliers irréguliers en dimension 2 », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 43 (1993), p. 1619-1688. | Numdam | MR | Zbl

[17] -, « Équations différentielles à points singuliers irréguliers et phénomène de Stokes en dimension 2 », Astérisque 263 (2000), p. 190. | Zbl

[18] R. G. Swan - « The theory of sheaves », 1964. | Zbl

[19] J.-L. Verdier - « Classe d'homologie associée à un cycle », in Séminaire de géométrie analytique (École Norm. Sup., Paris, 1974-75) Astérisque 36-37 (1976), p. 101-151. | Numdam | MR | Zbl

[20] -, « Stratifications de Whitney et théorème de Bertini-Sard », Invent. Math. 36 (1976), p. 295-312. | MR | Zbl

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