Irregularity of an analogue of the Gauss-Manin systems

Roucairol, Céline

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 2, pp. 269-286

In $𝒟$-modules theory, Gauss-Manin systems are defined by the direct image of the structure sheaf $𝒪$ by a morphism. A major theorem says that these systems have only regular singularities. This paper examines the irregularity of an analogue of the Gauss-Manin systems. It consists in the direct image complex $f_{+}\left(𝒪{\mathrm{e}}^g\right)$ of a $𝒟$-module twisted by the exponential of a polynomial $g$ by another polynomial $f$, where $f$ and $g$ are two polynomials in two variables. The analogue of the Gauss-Manin systems can have irregular singularities (at finite distance and at infinity). We express an invariant associated with the irregularity of these systems at $c\in {\mathbb{P}}^1$ by the geometry of the map $(f,g)$.

Dans la théorie des $𝒟$-modules, on définit les systèmes de Gauss-Manin par l’image directe par un morphisme du faisceau structural $𝒪$. Un résultat essentiel est leur régularité. On s’intéresse à l’irrégularité d’un analogue des systèmes de Gauss-Manin. Il s’agit de l’image directe $f_{+}\left(𝒪{\mathrm{e}}^g\right)$ par un polyôme $f$ d’un $𝒟$-module tordu par une exponentielle d’un second polynôme $g$, où $f$ et $g$ sont des polynômes à deux variables. Les analogues des systèmes de Gauss-Manin peuvent avoir des singularités irrégulières. On exprimera alors un invariant attaché à l’irrégularité en $c\in {\mathbb{P}}^1$ de ces systèmes à l’aide de la géométrie de l’application $(f,g)$.

Classification : 32S40, 32C38
Keywords: Gauss-Manin connection, irregularity complex, direct image, elementary $\mathcal {D}$-modules
Mots-clés : connexion de Gauss-Manin, complexe d’irrégularité, image directe, $\mathcal {D}$-modules élémentaires

[1] Séminaire Heidelberg-Strasbourg, 1966Séminaire Heidelberg-Strasbourg, 1966/1967: Dualité de Poincaré - Publication I.R.M.A. Strasbourg, No. 3, vol. 3, 1969.

[2] P. Deligne - Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lecture Notes in Math., vol. 163, Springer-Verlag, 1970. | Zbl | MR

[3] -, « Comparaison avec la théorie transcendante », Lecture Notes in Math., vol. 340, Springer-Verlag, 1973, p. 116-164.

[4] A. Grothendieck - « On the De Rham cohomology of algebraic varieties », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 29 (1966), p. 93-103. | Zbl | MR | Numdam

[5] R. Hartshorne - « Algebraic Geometry », Graduate Texts in Math., vol. 52, Springer-Verlag, New York, 1977. | Zbl | MR

[6] M. Kashiwara - « On the maximally overdetermined systems of differential equations », Publ. RIMS, Kyoto Univ. 10 (1975), p. 563-579. | Zbl | MR

[7] F. Maaref - « Sur un analogue irrégulier de la connexion de Gauss-Manin », Ann. Fac. Sci. Toul. VIII (1999), p. 117-124. | Zbl | MR | Numdam

[8] Z. Mebkhout - « Le théorème de comparaison entre cohomologies de De Rham d'une variété algébrique complexe et le théorème d'existence de Riemann », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 69 (1989), p. 47-89. | Zbl | MR | Numdam

[9] -, « Le théorème de positivité de l’irrégularité pour les ${𝒟}_X$-modules, Grothendieck Festschrift III », Progress in Math., vol. 88, 1990, p. 84-131. | Zbl

[10] -, « Le théorème de positivité, le théorème de comparaison, le théorème d'existence de Riemann », Séminaires et Congrès 8 (2004), p. 165-307. | Zbl

[11] Z. Mebkhout & L. Narváez-Macarro - « Le théorème de constructibilité de Kashiwara, Images directes et constructibilité », Travaux en Cours, vol. 46, Hermann, Paris, 1993, p. 47-98. | Zbl | MR

[12] C. Sabbah - « On the comparison theorem for elementary irregular $𝒟$-modules », Nagoya J. Math. 141 (1996), p. 107-124. | Zbl | MR

[13] L. Trãng & C. Weber - « Polynômes à fibres rationnelles et conjecture jacobienne à deux variables », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 320 (1995), p. 581-584. | Zbl | MR