Cône normal et régularités de Kuo-Verdier
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 1, pp. 71-85.

Nous introduisons de nouvelles régularités de Kuo-Verdier (r e ) et montrons que pour une stratification C 2 (a+r e )-régulière, en particulier (w)-régulière, la fibre du cône normal le long d’une strate Y est égale au cône tangent à la fibre d’une rétraction sur Y. Ceci généralise le résultat analogue pour les stratifications sous-analytiques (b)-régulières démontré par J.-P.Henry et M.Merle [9], et aussi le résultat analogue pour les stratifications différentiables (w+δ)-régulières démontré par nous-même [17]. Nous démontrons aussi l’ouverture de la projection du cône normal - appelée pseudo-platitude normale.

We introduce new Kuo-Verdier regularities (r e ) and prove that for an (a+r e )-regular (in particular for a (w)-regular) C 2 stratification, the fibre of the normal cone along a stratum Y is equal to the tangent cone of the fibre of a retraction onto Y. This generalises the analogous result for (b)-regular subanalytic stratifications proved by J.-P.Henry and M.Merle [9], and also the analogous result for (w+δ)-regular differentiable stratifications proved by the authors [17]. We further prove that the projection of the normal cone is open - one says then that the stratification is normally pseudo-flat.

DOI : 10.24033/bsmf.2413
Classification : 58A35, 32S15
Mot clés : régularité de Kuo-Verdier, stratification, cône normal, pseudo-platitude normale
Keywords: Kuo-Verdier regularity, stratification, normal cone, normally pseudo-flat
@article{BSMF_2002__130_1_71_0,
     author = {Orro, Patrice and Trotman, David},
     title = {C\^one normal et r\'egularit\'es de {Kuo-Verdier}},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     pages = {71--85},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {130},
     number = {1},
     year = {2002},
     doi = {10.24033/bsmf.2413},
     mrnumber = {1906193},
     zbl = {1014.58004},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2413/}
}
TY  - JOUR
AU  - Orro, Patrice
AU  - Trotman, David
TI  - Cône normal et régularités de Kuo-Verdier
JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY  - 2002
SP  - 71
EP  - 85
VL  - 130
IS  - 1
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2413/
DO  - 10.24033/bsmf.2413
LA  - fr
ID  - BSMF_2002__130_1_71_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Orro, Patrice
%A Trotman, David
%T Cône normal et régularités de Kuo-Verdier
%J Bulletin de la Société Mathématique de France
%D 2002
%P 71-85
%V 130
%N 1
%I Société mathématique de France
%U http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2413/
%R 10.24033/bsmf.2413
%G fr
%F BSMF_2002__130_1_71_0
Orro, Patrice; Trotman, David. Cône normal et régularités de Kuo-Verdier. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 1, pp. 71-85. doi : 10.24033/bsmf.2413. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2413/

[1] K. Bekka - « Sur les propriétés topologiques des espaces stratifiés », Thèse, Université Paris-Sud, Orsay, 1988.

[2] K. Bekka & D. Trotman - « Weakly Whitney stratified sets », Real and Complex singularities (J. Bruce & F. Tari, éds.), Research Notes in Math., vol. 412, Chapman and Hall, 2000, p. 1-15. | MR | Zbl

[3] H. Brodersen & D. Trotman - « Whitney (b)-regularity is strictly weaker than Kuo’s ratio test for real algebraic stratifications », Math. Scand. 45 (1979), p. 27-34. | MR | Zbl

[4] G. Comte - « Densité et images polaires en géométrie sous-analytique », Thèse, Université de Provence, 1998.

[5] -, « Équisingularité réelle : nombres de Lelong et images polaires », Ann. Sci. Éc. Norm. Sup., 4ème série 33 (2000), p. 757-788. | Numdam | MR | Zbl

[6] M. Ferrarotti, E. Fortuna & L. Wilson - « Real algebraic varieties with prescribed tangent cones », Pacific J. Math. 194 (2000), p. 315-323. | MR | Zbl

[7] C. Gibson - « Construction of canonical stratifications », Topological stability of smooth mappings, Lecture Notes in Math., vol. 552, Springer-Verlag, New York, 1976, p. 9-34. | MR

[8] J.-P. Henry & M. Merle - « Limites de normales, conditions de Whitney et éclatement d'Hironaka », Singularities, Part 1 (Arcata, Calif., 1981), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 40, Amer. Math. Soc, 1983, p. 575-584. | MR | Zbl

[9] -, « Stratifications de Whitney d'un ensemble sous-analytique », C. R. Acad. Sci. Paris, série I 308 (1989), p. 357-360. | MR | Zbl

[10] H. Hironaka - « Normal cones in analytic Whitney stratifications », Publ. Math. I.H.E.S. 36 (1969), p. 127-138. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[11] M. W. Hirsch - Differential Topology, Graduate Texts in Math., vol. 33, Springer-Verlag, New York, 1997. | MR | Zbl

[12] A. Kambouchner & D. Trotman - « Whitney (a)-faults which are hard to detect », Ann. Sci. Éc. Norm. Sup., 4ème série 12 (1979), p. 465-471. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[13] T.-C. Kuo - « The ratio test for analytic Whitney stratifications », Proc. of Liverpool Singularities Symposium I (C. Wall, éd.), Lecture Notes in Math., vol. 192, Springer-Verlag, New York, 1971, p. 141-149. | MR | Zbl

[14] M. Kwiecinski & D. Trotman - « Scribbling continua in n and constructing singularities with prescribed Nash fibre and tangent cone », Topology and Appl. 64 (1995), p. 177-189. | MR | Zbl

[15] P. Orro & D. Trotman - « Sur les fibres de Nash de surfaces à singularités isolées », C. R. Acad. Sci. Paris 299 (1984), p. 397-399. | MR | Zbl

[16] -, « On the regular stratifications and conormal structure of subanalytic sets », Bull. London Math. Soc. 18 (1986), p. 185-191. | MR | Zbl

[17] -, « Cône normal à une stratification régulière », Seminari Geometria 1998-99, Università degli Studi Bologna 12 (2000), p. 169-175. | Zbl

[18] B. Teissier - « Variétés polaires II : Multiplicités polaires, sections planes et conditions de Whitney », Algebraic Geometry, Proc., La Rabida 1981, Lecture Notes in Math., vol. 961, Springer-Verlag, New York, 1982, p. 314-491. | MR | Zbl

[19] D. Trotman - « Counterexamples in stratification theory : two discordant horns », Real and Complex Singularities, Proceedings 9th Nordic Summer School, Oslo 1976 (P. Holm, éd.), Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn, 1977, p. 679-686. | MR | Zbl

[20] -, « Transverse transversals and homeomorphic transversals », Topology 24 (1985), p. 25-39. | MR | Zbl

[21] J.-L. Verdier - « Stratifications de Whitney et théorème de Bertini-Sard », Invent. Math. 36 (1976), p. 295-312. | EuDML | MR | Zbl

Cité par Sources :