Non-Kähler compact complex manifolds associated to number fields

Etant donnés des corps de nombres $K$ avec $s>0$ plongements réels et $2t>0$ plongements complexes, et des sous groupes “admissibles” $U$ du groupe multiplicatif des entiers inversibles de $K$, nous construisons et étudions certaines variétés complexes compactes $X(K,U)$. Entre autres, nous montrons que ces variétés ne sont pas kähleriennes, mais admettent des métriques localement conformément kähleriennes lorsque $t=1$. En particulier, nous donnons un contre-exemple à une conjecture de I. Vaisman.

For algebraic number fields $K$ with $s>0$ real and $2t>0$ complex embeddings and “admissible” subgroups $U$ of the multiplicative group of integer units of $K$ we construct and investigate certain $(s+t)$-dimensional compact complex manifolds $X(K,U)$. We show among other things that such manifolds are non-Kähler but admit locally conformally Kähler metrics when $t=1$. In particular we disprove a conjecture of I. Vaisman.