Algèbres analytiques topologiquement noéthériennes. Théorie de Khovanskii
Annales de l'Institut Fourier, Volume 41 (1991) no. 4, p. 823-840

We study some real analytic algebras defined on an open set of R n . The main property of these algebras is that every semi-analytic set of Ω, globally defined by a finite number of functions of 𝒪(Ω), has a finite number of connected components. Using Khovanskii’s ideas (an extension of Rolle’s lemma), we prove that these algebras remain topologically noetherian when we add solutions of some differential equations of first order. By successive additions, we get a lot of examples of such algebras.

On étudie certaines algèbres de fonctions analytiques réelles définies sur un ouvert Ω de R n . La propriété principale de ces algèbres est que tout semi-analytique de Ω défini globalement à l’aide d’un nombre fini de fonctions de 𝒪(Ω), admet un nombre fini de composantes connexes. En reprenant les idées de Khovanskii (lemme de Rolle généralisé), on démontre que ces algèbres restent topologiquement noethériennes quand on leur adjoint les solutions de certaines équations différentielles du ler ordre. Par adjonctions successives, on construit ainsi de nombreux exemples de telles algèbres.

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Tougeron, Jean-Claude. Algèbres analytiques topologiquement noéthériennes. Théorie de Khovanskii. Annales de l'Institut Fourier, Volume 41 (1991) no. 4, pp. 823-840. doi : 10.5802/aif.1275. http://www.numdam.org/item/AIF_1991__41_4_823_0/

[1] El Khadiri, Thèse, Préprint, Rennes, 1987.

[2] Gabrielov, Projections of semi-analytic sets, Funct. Anal. and Appl., Vol. 2, n° 4 (1970).

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[4] Denkovska, Łojasiewicz et Stasica, Sur certaines propriétés élémentaires des ensembles sous-analytiques, 2 notes au Bulletin de l'Académie des Sciences Polonaise (1978).

[5] J. Milnor, On the Betti numbers of real algebric varieties, Proc. AMS, 15 (1964), 275-280. | MR 28 #4547 | Zbl 0123.38302

[6] R. Moussu, C. Roche, Théorie de Khovanskii et problème de Dulac, Inventiones Math., 105 (1991), 431-441. | MR 92e:58169 | Zbl 0769.58050

[7] J.-Cl. Tougeron, Sur certaines algèbres de fonctions analytiques, Séminaire de géométrie algébrique réelle, Paris VII, 1986. | Zbl 0634.14017

[8] J.-Cl. Tougeron, Sur les ensembles analytiques réels définis par des équations Gevrey au bord, préprint, Rennes, 1990.

[9] J.-Cl. Tougeron, Familles nothériennes de modules sur k[[x]] et applications, préprint, Rennes, 1985.