Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ${\mathbb{P}}_2\left(ℂ\right)$

Drezet, Jean-Marc

Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988) no. 3, pp. 105-168

Le sujet de cet article est le groupe de Picard de la variété de modules $M(r,c_1,c_2)$ des faisceaux algébriques semi-stables de rang $r$ et de classes de Chern $c_1,c_2$ sur ${\mathbf{P}}_2\left(\mathbf{C}\right)$. Le premier résultat est que $M(r,c_1,c_2)$ est localement factorielle, ce qui permet d’identifier Pic$\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)$ et le groupe des classes d’équivalence linéaire des diviseurs de Weil de $M(r,c_1,c_2))$. Il existe une unique application $\delta :\mathbf{Q}\to \mathbf{Q}$ telle que dim$\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)>0$ si et seulement si $(c_2-(r-1)c_1^2/2r)/r>\delta (c_1/r)$. Si on a égalité, Pic$\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)$ est isomorphe à $\mathbf{Z}$, et si l’inégalité est stricte, Pic$\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)$ est isomorphe à ${\mathbf{Z}}^2$. On donne ensuite une description de Pic$\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)$ faisant intervenir un sous-groupe du groupe de Grothendieck $K\left({\mathbf{P}}_2\right)$ de ${\mathbf{P}}_2$. On peut enfin calculer le fibré canonique ${\omega }_M$ de $M(c_1,c_2)$.

The subject of this paper is the Picard group of the moduli variety $M(r,c_1,c_2)$ of semi-stable algebraic sheaves on ${\mathbf{P}}_2\left(\mathbf{C}\right)$, of $rankr$ and Chern classes $c_1,c_2$. The first result is that if $M(r,c_1,c_2)$ is locally factorial, so Pic$\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)$ is isomorphic to the group of linear equivalence classes of Weil divisors of $M(r,c_1,c_2)$. There is a unique map $\delta :\mathbf{Q}\to \mathbf{Q}$ such that $dim\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)>0$ if and only if $(c_2-(r-1)c_1^2/2r)/r\ge \delta (c_1/r)$. Then if one has equality, $\mathrm{Pic}\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)$ is isomorphic to $\mathbf{Z}$, and if the inequality is strict, $Pic\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)$ is isomorphic to ${\mathbf{Z}}^2$. A description of $\mathrm{Pic}\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)$ is given, using a subgroup of the Grothendieck group $K\left({\mathbf{P}}_2\right)$ of ${\mathbf{P}}_2$. It is then possible to compute the canonical bundle ${\omega }_M$ of $M(r,c_1,c_2)$.

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