Discrépance de la suite $\left(\left\{n\alpha \right\}\right),\alpha =\left(1+\sqrt{5}\right)/2$
Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, pp. 81-106.

Let ${D}^{*}\left(N\right)$ be the star-discrepancy of the sequence $\left(\left\{n\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\right)$. We show that $lim sup\frac{{D}^{*}\left(N\right)}{\mathrm{Log}N}=\frac{3}{20}{\left(\mathrm{Log}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{-1}=0.31\cdots$, which illustrates the fact that our sequence has smaller star-discrepancy than that of van der Corput’s sequence. Our proofs involve continued fraction theory.

Soit ${D}^{*}\left(N\right)$ la discrépance “à l’origine” de la suite $\left(\left\{n\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\right)$. Nous montrons que $lim sup\frac{{D}^{*}\left(N\right)}{\mathrm{Log}N}=\frac{3}{20}{\left(\mathrm{Log}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{-1}=0.31\cdots$, quantité inférieure à celle correspondant à la suite de van der Corput. Les techniques utilisées sont celles liées au développement en fraction continue.

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[1] R. Bejian et H. Faure, Discrépance de la suite de van der Corput, C.R. Acad. Sc., Paris, 285 (1977), 313-316. | MR | Zbl

[2] Y. Dupain, Intervalles à restes majorés pour la suite {nα}, Acta. Math. Acad. Scient. Hung., t. 29 (3,4) (1977), 289-303. | MR | Zbl

[3] L. Kuipers and H. Niederreiter, Uniform distribution of sequences, Wiley Interscience, New York, (1974), 88-132. | MR | Zbl

[4] J. Lesca, Sur la répartition modulo 1 des suites {nα}, Acta Arith., 20 (1972), 345-352. | MR | Zbl

[5] J. Lesca, Sur la répartition modulo 1 des suites {nα}, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, (1966-1967), fascicule 1, exposé n° 2. | Numdam | Zbl

Cited by Sources: