Structure presque tangente et connexions I
Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 1, pp. 287-334.

In this work, we give a new definition of non linear connections and more generally of non homogeneous connections.

In this aim, we use the natural almost tangent structure of the tangent bundle, then we find the intrinsecal differential equations that relate a connection to its spray.

We apply this formalism to the study of connections on a Finsler manifold and on a non homogeneous mechanical system: in the first case, we obtain a generalisation of the “fundamental theorem of riemannian geometry”; in the second one, we prove the existence of a connection whose geodesics are solutions of Lagrange’s equations which preserves the “principal energy” by parallel translation.

On donne une nouvelle définition des connexions non linéaires et, plus généralement des connexions non homogènes, en faisant intervenir la structure presque tangente naturelle du fibré tangent.

Ceci permet d’établir intrinsèquement les équations différentielles qui lient une connexion à sa gerbe.

Ce formalisme est ensuite appliqué à l’étude des connexions sur une variété finslérienne et sur un système mécanique : on obtient dans le cas finslérien une généralisation du “théorème fondamental de la géométrie riemannienne” ; dans le cas d’un système mécanique, on établit l’existence d’une connexion conservant “l’énergie principale” par transport parallèle et dont les géodésiques sont solutions des équations de Lagrange.

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