Détermination des axiomatiques de théorie du potentiel dont les fonctions harmoniques sont différentiables
Annales de l'Institut Fourier, Tome 17 (1967) no. 1, p. 353-382
On se donne une axiomatique de théorie du potentiel dans un ouvert Ω de R n (en ne conservant que les axiomes 1 et 2 de M. Brelot), et on suppose de plus que les fonctions harmoniques sont de classe C 2 . On démontre alors que, dans un ouvert Ω 0 dense dans Ω, il existe un opérateur différentiel elliptique dégénéré A, à coefficients continus, unique à un facteur de proportionnalité près, tel que les fonctions harmoniques soient exactement les solutions u de l’équation Au=0.On étudie ensuite les relations entre les divers axiomes de convergence et la nature de l’opérateur A associé. Enfin, on caractérise les axiomatiques de Brelot et de Bauer invariantes par translation en termes d’opérateurs différentiels à coefficients constants, respectivement elliptiques et paraboliques.
@article{AIF_1967__17_1_353_0,
     author = {Bony, Jean-Michel},
     title = {D\'etermination des axiomatiques de th\'eorie du potentiel dont les fonctions harmoniques sont diff\'erentiables},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {17},
     number = {1},
     year = {1967},
     pages = {353-382},
     doi = {10.5802/aif.260},
     zbl = {0164.14003},
     mrnumber = {36 \#4012},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1967__17_1_353_0}
}
Bony, Jean-Michel. Détermination des axiomatiques de théorie du potentiel dont les fonctions harmoniques sont différentiables. Annales de l'Institut Fourier, Tome 17 (1967) no. 1, pp. 353-382. doi : 10.5802/aif.260. http://www.numdam.org/item/AIF_1967__17_1_353_0/

[1] H. Bauer, Axiomatische Behandlung des Dirichletschen Problems für elliptische und parabolische Differentialgleichungen, Math. Annalen 146 (1962), 1-59. | MR 26 #1612 | Zbl 0107.08003

[2] H. Bauer, Harmonische Raüme und ihre Potentialtheorie, Lecture notes in Mathematics — Springer Verlag (1966). | Zbl 0142.38402

[3] N. Boboc, C. Constantinescu, A. Cornea, Axiomatic theorie of harmonic functions. Non negative superharmonic functions, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 15 1 (1965), 283, 312. | Numdam | Zbl 0139.06604

[4] M. Brelot, Axiomatique des fonctions harmoniques, les Presses de l'Université de Montréal (1966). | Zbl 0148.10401

[5] S. Guber, On the potential theory of linear homogeneous parabolic partial differential equations of second order, Symposium on Probability Methods in Analysis, Lecture notes in Mathematics 31, Springer-Verlag (1967). | MR 36 #6644 | Zbl 0168.08203

[6] R. M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962) 415.571. | Numdam | MR 25 #3186 | Zbl 0101.08103

[7] F. John, A note on the maximum principle for elliptic differential equations, Bull. Amer. Math. Soc., 44 (1938), 268.271. | JFM 64.0462.02 | Zbl 0018.25605

[8] G. Mokobodzki, Espaces de Riesz complètement réticulés et ensembles équicontinus de fonctions harmoniques, Séminaire CHOQUET (Initiation à l'analyse), 5e année 1965/1966,n° 6. | Numdam | Zbl 0165.14202

[9] G. Valiron, Cours d'analyse mathématique II — Equations fonctionnelles, applications, 2e édition 1950 — Masson et Cie. | Zbl 0061.16607

[10] Van Der Waerden, Modern Algebra, translated from the 2nd revised German edition, New York, Frederick Ungar (1950). | Zbl 0039.00902