Phénomènes de perturbation singulière dans les problèmes aux limites
Annales de l'Institut Fourier, Volume 10 (1960), p. 61-150

Ce travail apporte, par utilisation systématique de la méthode de résolution des problèmes aux limites de M. Lions, une contribution à l’étude de deux problèmes de perturbation singulière, qui entrent dans un nombre important de problèmes de physique mathématique et de mécanique.

Problème 1 (Chapitre I) : Soit B ε une famille d’opérateurs elliptiques dépendant du paramètre réel positif ε, et se réduisant, pour ε=0, à un opérateur elliptique B, d’ordre inférieur à celui des B ε . On montre que, sous des hypothèses convenables, lorsque ε0, la solution u ε d’un problème aux limites sur un ouvert Ω de R n , relatif à B ε u ε =f, converge vers la solution u d’un problème aux limites sur Ω, relatif à Bu=f, où f est donnée. Exemples d’applications aux équations aux dérivées partielles. Amélioration de la convergence, localement et à la frontière, par utilisation des résultats de Friedrichs, Nirenberg et Browder. Convergence des valeurs propres et des fonctions propres de B ε .

Problème 2 (Chapitre II) : Désignons par t une variable réelle 0, appelée temps, par D l’opérateur (/t). Soit B ε (t) une famille d’opérateurs différentiels elliptiques en x(xR n ), dépendant du temps, se réduisant, pour ε=0, à un opérateur différentiel elliptique en x, B(t), dépendant du temps, d’ordre inférieur à celui des B ε (t). Étude de la convergence, quand ε0, de la solution u ε (t) d’un problème mixte fin relatif à B ε (t)u ε (t)+Du ε (t) (resp. D 2 u ε (t)) =h(t), vers la solution u(t), d’un problème mixte fin relatif à B(t)u(t)+Du(t) (resp. D 2 u(t)) =h(t)h(t) est donnée. Application aux équations aux dérivées partielles, et, lorsque B ε ne dépend pas de t, aux semi-groupes.

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Huet, Denise. Phénomènes de perturbation singulière dans les problèmes aux limites. Annales de l'Institut Fourier, Volume 10 (1960) pp. 61-150. doi : 10.5802/aif.98. http://www.numdam.org/item/AIF_1960__10__61_0/

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