Sur l'existence d'intégrales premières pour un germe de forme de Pfaff
Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 2, pp. 171-220.

Soit ω(x)= i=1 n a i (x)dx i un germe en 0R n d’une forme de Pfaff, complètement intégrable (ωdω=0) de classe C ou analytique, dont 0 est un zéro algébriquement isolé ( dim R E n /[a 1 ,a 2 ,...,a n ]<). La matrice a i x j (0) est symétrique ; soit q w la forme quadratique correspondante. On montre dans ce travail :

i) que ω possède une intégrale première formelle (i.e., j ω=gdf, g(0)0f et g sont des séries formelles).

ii) que, si ω est analytique et rang q w 2, ω possède une intégrale première analytique (i.e. ω=gdf, g(0)0, g,f0 n ).

iii) que, si ω est C et si (indice q m ) n-13, ω possède une intégrale première C (i.e., ω=gdf, g(0)0, g,fE n ).

Let ω(x)= i=1 n a i (x)dx i a germ at 0R n of a (C or analytic) completely integrable pfaffian form (ωdω=0) for which 0 is an algebraically isolated zero ( dim R E n /[a 1 ,a 2 ,...,a n ]<). The matrix a i x j (0) is symmetric; let q w the associated quadratic form. We prove in this article:

i) that ω has a formal first integral (i.e., j ω=gdf, g(0)0, g,fF n ).

ii) that, if ω is analytic and rank q w 2, ω has a analytic first integral (i.e., ω=gdf, g(0)0, g,f0 n ).

iii) that, if ω is C and if (index q m ) n-13, ω has a C first integral (i.e., ω=gdf, g(0)0, g,fE n ).

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     author = {Moussu, Robert},
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Moussu, Robert. Sur l'existence d'intégrales premières pour un germe de forme de Pfaff. Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 2, pp. 171-220. doi : 10.5802/aif.621. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.621/

[1]G. De Rham, Sur la division des formes et des courants par une forme linéaire, Commentari. Math. Hel., 28 (1954). | EuDML | MR | Zbl

[2]G. Godbillon-Vey, Un invariant des feuilletages de codimension un, C.R.A.S., Paris (Juin 1971). | Zbl

[3]Gunning-Rossi, Analytic functions of several complex variables, Prentice Hall. Inc. London. | Zbl

[4]I. Kupka, Singularities of integrable structurally stable Pfaffian forms, Proc. Nat. Acad. Sciences, 52 (1964). | MR | Zbl

[5]B. Malgrange, Ideals of differentiable functions, Oxford University Press, 1968. | Zbl

[6]D. G. Northcott, Lessons on Rings Modules and Multiplicities, Cambridge University Press, 1968. | MR | Zbl

[7]G. Reeb, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées (Thèse), Hermann 1952. | MR | Zbl

[8]J. C. Tougeron, Idéaux de fonctions différentiables, Ergeb. Math., Springer Verlag (1972). | MR | Zbl

[9]Van Der Vardeen, Modern Algebra (Volume II) F. Ungar Publishing. Co., New York (1964).

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