@incollection{SB_1985-1986__28__21_0, author = {Bertrand, Daniel}, title = {Lemmes de z\'eros et nombres transcendants}, booktitle = {S\'eminaire Bourbaki : volume 1985/86, expos\'es 651-668}, author = {Collectif}, series = {Ast\'erisque}, note = {talk:652}, publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France}, number = {145-146}, year = {1987}, zbl = {0613.14001}, mrnumber = {880024}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/item/SB_1985-1986__28__21_0/} }
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Bertrand, Daniel. Lemmes de zéros et nombres transcendants, dans Séminaire Bourbaki : volume 1985/86, exposés 651-668, Astérisque, no. 145-146 (1987), Exposé no. 652, 24 p. http://www.numdam.org/item/SB_1985-1986__28__21_0/
[1] Sur certaines algèbres de Lie associées aux schémas abéliens, C.R.A.S., Paris, 299, 1984, 137-140. | MR 756310 | Zbl 0609.14024
-[2] On the periods of the Weierstrass -function, Symposia Math., 4, 1968, 155-174. | MR 279042 | Zbl 0223.10019
-[3] The theory of linear forms in logarithms, in "Transcendence theory : Advances and Applications", Acad. Press, 1977, chap. I. | MR 498417 | Zbl 0361.10028
-[4] On the Thue - Siegel - Dyson theorem, Acta math. , 148, 1982, 255-296. | MR 666113 | Zbl 0505.10015
-[5] Schémas en groupes et lemmes de zéros, in "Problèmes diophantiens 84-85", Publ. Univ. Paris VI, 1985, exp. n° 3.
-[6] Zero estimates for solutions of differential equations, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 67-94. | MR 702190 | Zbl 0513.10034
-[7] Multiplicity estimates for analytic functions, II, Duke Math. J., 47, 1980, 273-295. | MR 575898 | Zbl 0461.10027
- -[8] Biextensions associated to divisors on abelian varieties and theta functions, Ann. Sc. N. S. Pisa, 10, 1983, 437-491. | Numdam | MR 739919 | Zbl 0576.14043
- -[9] Singular points on complex hypersurfaces and multidimensional Schwarz lemma, Birkhäuser Prog. Math., 12, 1981, 29-69. | MR 633888 | Zbl 0455.32004
-[10] Sur une minoration du degré d'hypersurfaces s'annulant en certains points, Math. Ann., 263, 1983, 75-86. | MR 697332 | Zbl 0489.14016
- -[11] Dyson's lemma for polynomials in several variables (and the theorem of Roth), Invent. Math., 78, 1984, 445-490. | MR 768988 | Zbl 0545.10021
- -[12] Einbettungen kommutativer algebraischer Gruppen und einige ihre Eigenschaften, Crelle, 354, 1984, 175-205. | MR 767579 | Zbl 0543.14029
- -[13] Intersection Theory, Springer Erg. Math., 1984. | MR 732620 | Zbl 0541.14005
-[14] Some effective problems in polynomial ideal theory, Springer L.N. in Computer Sciences, 174, 1984, 159-171. | MR 779123 | Zbl 0585.13010
-[15] Algebraic Geometry, Springer G.T.M., 1977. | MR 463157 | Zbl 0367.14001
-[16] Représentations l-adiques abéliennes, Birkhäuser Prog. Math., 22, 1982, 107-126. | MR 693314 | Zbl 0498.12012
-[17] La méthode d'Horace pour l'interpolation à plusieurs variables, Manuscripta math., 50, 1985, 337-388. | MR 784148 | Zbl 0571.14002
-[18] Non standard diophantine geometry, Queen's papers p. appl. maths, 54, 1980, 129-179. | Zbl 0454.14010
-[19] Commutative algebraic groups and intersections of quadrics, Math. Ann. , 267, 1984, 555-571. | MR 742901 | Zbl 0544.14028
- -[20] Nombres transcendants, Séminaire Bourbaki 1965-66, exp. n° 305, Benjamin, 1966. | Numdam | Zbl 0236.10019
-[21] Diophantine approximation on toruses, Amer. J. Math., 86, 1964, 521-533. | MR 164929 | Zbl 0142.29601
-[22] Translations sur les groupes algébriques commutatifs, C.R.A.S., Paris, 300, 1985, 255-258. | MR 785063 | Zbl 0579.14040
-[23] Transcendance de périodes d'intégrales elliptiques, II, Crelle, 333, 1982, 144-161. | MR 660788 | Zbl 0475.10031
-[24] Linear forms in algebraic points of abelian functions, III, Proc. London M.S. 33, 1976, 549-564. | MR 424717 | Zbl 0334.14019
-[25] A note on Baker's theorem, in "Recent Progress in Analytic Number Theory", Acad. Press, 1981, vol. 2, chap. 31. | MR 637363 | Zbl 0468.10020
-[26] On polynomials and exponential polynomials in several complex variables, Invent. math., 63, 1981, 81-95. | MR 608529 | Zbl 0436.32005
-[27] Interpolation on group varieties, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 151-171. | MR 702196 | Zbl 0579.14038
-[28] Small values of the quadratic part of the Néron - Tate height on an abelian variety, Compositio Math., 53, 1984, 153-170. | Numdam | MR 766295 | Zbl 0551.14015
-[29] Zero estimates on group varieties, Proc. I.C.M., Warszawa, 1983, vol. 1, 493-502. | MR 804705 | Zbl 0564.10040
-[30] Zero estimates on group varieties, I, Invent. math., 64, 1981, 489-516. | MR 632987 | Zbl 0467.10025
- -[31] Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions, Invent. math., 72, 1983, 407-464. | MR 704399 | Zbl 0516.10027
- -[32] Zero estimates on group varieties, II, Invent. math., 80, 1985, 233-267. | MR 788409 | Zbl 0564.10041
- -[33] Another note on Baker's theorem, Prep. Univ. Ann Arbor, 1985.
- -[34] Démonstrations géométriques de lemmes de zéros, II, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 191-197. | MR 702198 | Zbl 0578.10040
-[35] On the fourteenth problem of Hilbert, Tata Inst. L.N., 1965. | MR 215828
-[36] Estimates for the orders of zeros of functions of a certain class and applications in the theory of transcendental numbers, Math. USSR Izv. 11, 1977, 239-270. | Zbl 0378.10022
-[37] Bornes pour la fonction caractéristique d'un idéal premier, Mat. Sb., 123, 1984, 11-34 [en russe]. | Zbl 0579.10030
-[38] Measures of algebraic independence of numbers and functions, Journées arithmétiques de Besançon (1985, à paraître dans Astérisque). | MR 891425 | Zbl 0615.10043
-[39] Critères d'indépendance algébrique, Prep. Ecole polytechnique, 1984.
-[40] Lemmes de zéros dans les groupes algébriques commutatifs, Bull. SMF, 114, 1986, n° 3. | Numdam | MR 878242 | Zbl 0617.14001
-[41] Kummer theory on extensions of abelian varieties by tori, Duke Math. J., 46, 1979, 745-761. | MR 552524 | Zbl 0428.14018
-[42] Groupes algébriques et corps de classes, Hermann, 1959. | MR 103191 | Zbl 0718.14001
-[43] Dépendance d'exponentielles p-adiques, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 7, 1965-66, exp. n° 15. | Numdam | Zbl 0254.10033
-[44] Travaux de Baker, Séminaire Bourbaki 1969-70, exp. n° 368, Springer L.N., 180, 1971. | Numdam | Zbl 0212.07201
-[45] Quelques propriétés des groupes algébriques commutatifs, Astérisque 69-70, 1979, 191-202.
-[46] Abelian l-adic representations and elliptic curves, Benjamin, 1968. [Voir aussi Astérisque, 65, 1979, 155-188.] | MR 263823 | Zbl 0186.25701
-[47] On Dyson's lemma, Ann. Sc. N.S. Pisa, 12, 1985, 105-135. | Numdam | MR 818804 | Zbl 0596.10032
-[48] Results on Bezout's theorem, Tata Inst. L.N., 1984.
-[49] Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque, 69-70, 1979. | MR 570648 | Zbl 0428.10017
-[50] Transcendance et exponentielles en plusieurs variables, Invent. math., 63, 1981, 97-127. | MR 608530 | Zbl 0454.10020
-[51] Sous-groupes analytiques de groupes algébriques, Ann. Math., 117, 1983, 627-657. | MR 701258 | Zbl 0579.14039
-[52] Dépendance de logarithmes dans les groupes algébriques, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 279-328. | MR 702205 | Zbl 0513.14028
-[53] Nullstellenabschätzungen auf Varietäten, Birkhäuser Prog. Math., 22, 1982, 359-362. | Zbl 0496.14024
-[54] Multiplicity estimates on group varieties, Prep. Max Planck Inst., 1984.
-[55] Algebraische Punkte auf analytischen Untergruppen algebraischer Gruppen, Prep. Max Planck Inst., 1984.
-[56] Some remarks on a conjecture of Waldschmidt, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 329-336. | MR 702206 | Zbl 0534.10026
-[57] Transzendenzeigenschaften von Perioden elliptischer Integrale, Crelle, 354, 1984, 164-174. | MR 767578 | Zbl 0543.10025
-[58] Zum Periodenproblem, Invent. math., 78, 1984, 381-391. | MR 768986 | Zbl 0548.10022
-[59] Recent progress in transcendence theory, Springer L.N., 1068, 1984, 280-296. | MR 756102 | Zbl 0543.10024
-[60] Linear Forms in elliptic logarithms, J. Number Th., 20, 1985, 1-69. | MR 777970 | Zbl 0555.10017
-(1) C'est précisément une hypothèse de type Cohen - Macaulay qu'on trouvera dans la version définitive de [40] (voir aussi Note on a paper of P. Philippon, Prep. IAS, Princeton, 1986). Elle permet, dans la conclusion du théorème 2, de remplacer δN-d par deg G .
:(2) Il s'agit ici d'une version relative du résultat de [22], également établie par Families of translations of commutative algebraic groups, Prep. Univ. Erlangen, 1985).
((3) En introduisant la dimension t du plus grand sous-espace vectoriel de V défini sur On Gel'fond - Schneider's method in several variables, Proc. Conf. Durham, 1986) est parvenu à recouvrir d'un énoncé les théorèmes 3 et 4. Dans la situation de la proposition 5, il obtient ainsi l'inégalité : l ≤ (n-t)(n+1) , d'où le résultat de la proposition 6 pour t = n .
((4) Pour une application de ce principe aux valeurs de fonctions hypergéométriques, voir Fonctions hypergéométriques : arguments exceptionnels et groupe de monodromie, in "Problèmes diophantiens 85-86", Publ. Univ. Paris VI, 1986, exp. n° 9.
:(5) , (6) Comme l'ont démontré Formes linéaires de logarithmes sur les groupes algébriques commutatifs, Prep. Univ. Paris VI, 1986), la restriction imposée à V à la proposition 7 peut être levée dans tous les cas (sous réserve, bien entendu, d'admettre dans la conclusion la possibilité que L(u) soit nulle). Leur méthode permet, à la proposition 8, de remplacer l'exposant de log U par n'importe quel nombre réel > n et de supprimer la référence à End J dans son corollaire.
et ((7) Cette dépendance pourrait être explicitée, grâce aux estimations de hauteurs sur l'espace de Siegel établies par Specializations of finitely generated subgroups of abelian varieties, Prep. Univ. Ann Arbor, 1986).
pour obtenir une version modulaire de [28] (voir :