@incollection{SB_1985-1986__28__21_0, author = {Bertrand, Daniel}, title = {Lemmes de z\'eros et nombres transcendants}, booktitle = {S\'eminaire Bourbaki : volume 1985/86, expos\'es 651-668}, series = {Ast\'erisque}, note = {talk:652}, pages = {21--44}, publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France}, number = {145-146}, year = {1987}, mrnumber = {880024}, zbl = {0613.14001}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/item/SB_1985-1986__28__21_0/} }
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Bertrand, Daniel. Lemmes de zéros et nombres transcendants, in Séminaire Bourbaki : volume 1985/86, exposés 651-668, Astérisque, no. 145-146 (1987), Talk no. 652, 24 p. http://www.numdam.org/item/SB_1985-1986__28__21_0/
[1] Sur certaines algèbres de Lie associées aux schémas abéliens, C.R.A.S., Paris, 299, 1984, 137-140. | MR | Zbl
-[2] On the periods of the Weierstrass -function, Symposia Math., 4, 1968, 155-174. | MR | Zbl
-[3] The theory of linear forms in logarithms, in "Transcendence theory : Advances and Applications", Acad. Press, 1977, chap. I. | MR | Zbl
-[4] On the Thue - Siegel - Dyson theorem, Acta math. , 148, 1982, 255-296. | MR | Zbl
-[5] Schémas en groupes et lemmes de zéros, in "Problèmes diophantiens 84-85", Publ. Univ. Paris VI, 1985, exp. n° 3.
-[6] Zero estimates for solutions of differential equations, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 67-94. | MR | Zbl
-[7] Multiplicity estimates for analytic functions, II, Duke Math. J., 47, 1980, 273-295. | MR | Zbl
- -[8] Biextensions associated to divisors on abelian varieties and theta functions, Ann. Sc. N. S. Pisa, 10, 1983, 437-491. | Numdam | MR | Zbl
- -[9] Singular points on complex hypersurfaces and multidimensional Schwarz lemma, Birkhäuser Prog. Math., 12, 1981, 29-69. | MR | Zbl
-[10] Sur une minoration du degré d'hypersurfaces s'annulant en certains points, Math. Ann., 263, 1983, 75-86. | MR | Zbl
- -[11] Dyson's lemma for polynomials in several variables (and the theorem of Roth), Invent. Math., 78, 1984, 445-490. | MR | Zbl
- -[12] Einbettungen kommutativer algebraischer Gruppen und einige ihre Eigenschaften, Crelle, 354, 1984, 175-205. | MR | Zbl
- -[13] Intersection Theory, Springer Erg. Math., 1984. | MR | Zbl
-[14] Some effective problems in polynomial ideal theory, Springer L.N. in Computer Sciences, 174, 1984, 159-171. | MR | Zbl
-[15] Algebraic Geometry, Springer G.T.M., 1977. | MR | Zbl
-[16] Représentations l-adiques abéliennes, Birkhäuser Prog. Math., 22, 1982, 107-126. | MR | Zbl
-[17] La méthode d'Horace pour l'interpolation à plusieurs variables, Manuscripta math., 50, 1985, 337-388. | MR | Zbl
-[18] Non standard diophantine geometry, Queen's papers p. appl. maths, 54, 1980, 129-179. | Zbl
-[19] Commutative algebraic groups and intersections of quadrics, Math. Ann. , 267, 1984, 555-571. | MR | Zbl
- -[20] Nombres transcendants, Séminaire Bourbaki 1965-66, exp. n° 305, Benjamin, 1966. | Numdam | Zbl
-[21] Diophantine approximation on toruses, Amer. J. Math., 86, 1964, 521-533. | MR | Zbl
-[22] Translations sur les groupes algébriques commutatifs, C.R.A.S., Paris, 300, 1985, 255-258. | MR | Zbl
-[23] Transcendance de périodes d'intégrales elliptiques, II, Crelle, 333, 1982, 144-161. | MR | Zbl
-[24] Linear forms in algebraic points of abelian functions, III, Proc. London M.S. 33, 1976, 549-564. | MR | Zbl
-[25] A note on Baker's theorem, in "Recent Progress in Analytic Number Theory", Acad. Press, 1981, vol. 2, chap. 31. | MR | Zbl
-[26] On polynomials and exponential polynomials in several complex variables, Invent. math., 63, 1981, 81-95. | MR | Zbl
-[27] Interpolation on group varieties, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 151-171. | MR | Zbl
-[28] Small values of the quadratic part of the Néron - Tate height on an abelian variety, Compositio Math., 53, 1984, 153-170. | Numdam | MR | Zbl
-[29] Zero estimates on group varieties, Proc. I.C.M., Warszawa, 1983, vol. 1, 493-502. | MR | Zbl
-[30] Zero estimates on group varieties, I, Invent. math., 64, 1981, 489-516. | MR | Zbl
- -[31] Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions, Invent. math., 72, 1983, 407-464. | MR | Zbl
- -[32] Zero estimates on group varieties, II, Invent. math., 80, 1985, 233-267. | MR | Zbl
- -[33] Another note on Baker's theorem, Prep. Univ. Ann Arbor, 1985.
- -[34] Démonstrations géométriques de lemmes de zéros, II, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 191-197. | MR | Zbl
-[35] On the fourteenth problem of Hilbert, Tata Inst. L.N., 1965. | MR
-[36] Estimates for the orders of zeros of functions of a certain class and applications in the theory of transcendental numbers, Math. USSR Izv. 11, 1977, 239-270. | Zbl
-[37] Bornes pour la fonction caractéristique d'un idéal premier, Mat. Sb., 123, 1984, 11-34 [en russe]. | Zbl
-[38] Measures of algebraic independence of numbers and functions, Journées arithmétiques de Besançon (1985, à paraître dans Astérisque). | Numdam | MR | Zbl
-[39] Critères d'indépendance algébrique, Prep. Ecole polytechnique, 1984.
-[40] Lemmes de zéros dans les groupes algébriques commutatifs, Bull. SMF, 114, 1986, n° 3. | Numdam | MR | Zbl
-[41] Kummer theory on extensions of abelian varieties by tori, Duke Math. J., 46, 1979, 745-761. | MR | Zbl
-[42] Groupes algébriques et corps de classes, Hermann, 1959. | MR | Zbl
-[43] Dépendance d'exponentielles p-adiques, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 7, 1965-66, exp. n° 15. | Numdam | Zbl
-[44] Travaux de Baker, Séminaire Bourbaki 1969-70, exp. n° 368, Springer L.N., 180, 1971. | Numdam | Zbl
-[45] Quelques propriétés des groupes algébriques commutatifs, Astérisque 69-70, 1979, 191-202.
-[46] Abelian l-adic representations and elliptic curves, Benjamin, 1968. [Voir aussi Astérisque, 65, 1979, 155-188.] | MR | Zbl
-[47] On Dyson's lemma, Ann. Sc. N.S. Pisa, 12, 1985, 105-135. | Numdam | MR | Zbl
-[48] Results on Bezout's theorem, Tata Inst. L.N., 1984.
-[49] Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque, 69-70, 1979. | MR | Zbl
-[50] Transcendance et exponentielles en plusieurs variables, Invent. math., 63, 1981, 97-127. | MR | Zbl
-[51] Sous-groupes analytiques de groupes algébriques, Ann. Math., 117, 1983, 627-657. | MR | Zbl
-[52] Dépendance de logarithmes dans les groupes algébriques, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 279-328. | MR | Zbl
-[53] Nullstellenabschätzungen auf Varietäten, Birkhäuser Prog. Math., 22, 1982, 359-362. | Zbl
-[54] Multiplicity estimates on group varieties, Prep. Max Planck Inst., 1984.
-[55] Algebraische Punkte auf analytischen Untergruppen algebraischer Gruppen, Prep. Max Planck Inst., 1984.
-[56] Some remarks on a conjecture of Waldschmidt, Birkhäuser Prog. Math., 31, 1983, 329-336. | MR | Zbl
-[57] Transzendenzeigenschaften von Perioden elliptischer Integrale, Crelle, 354, 1984, 164-174. | MR | Zbl
-[58] Zum Periodenproblem, Invent. math., 78, 1984, 381-391. | MR | Zbl
-[59] Recent progress in transcendence theory, Springer L.N., 1068, 1984, 280-296. | MR | Zbl
-[60] Linear Forms in elliptic logarithms, J. Number Th., 20, 1985, 1-69. | MR | Zbl
-(1) C'est précisément une hypothèse de type Cohen - Macaulay qu'on trouvera dans la version définitive de [40] (voir aussi Note on a paper of P. Philippon, Prep. IAS, Princeton, 1986). Elle permet, dans la conclusion du théorème 2, de remplacer δN-d par deg G .
:(2) Il s'agit ici d'une version relative du résultat de [22], également établie par Families of translations of commutative algebraic groups, Prep. Univ. Erlangen, 1985).
((3) En introduisant la dimension t du plus grand sous-espace vectoriel de V défini sur On Gel'fond - Schneider's method in several variables, Proc. Conf. Durham, 1986) est parvenu à recouvrir d'un énoncé les théorèmes 3 et 4. Dans la situation de la proposition 5, il obtient ainsi l'inégalité : l ≤ (n-t)(n+1) , d'où le résultat de la proposition 6 pour t = n .
((4) Pour une application de ce principe aux valeurs de fonctions hypergéométriques, voir Fonctions hypergéométriques : arguments exceptionnels et groupe de monodromie, in "Problèmes diophantiens 85-86", Publ. Univ. Paris VI, 1986, exp. n° 9.
:(5) , (6) Comme l'ont démontré Formes linéaires de logarithmes sur les groupes algébriques commutatifs, Prep. Univ. Paris VI, 1986), la restriction imposée à V à la proposition 7 peut être levée dans tous les cas (sous réserve, bien entendu, d'admettre dans la conclusion la possibilité que L(u) soit nulle). Leur méthode permet, à la proposition 8, de remplacer l'exposant de log U par n'importe quel nombre réel > n et de supprimer la référence à End J dans son corollaire.
et ((7) Cette dépendance pourrait être explicitée, grâce aux estimations de hauteurs sur l'espace de Siegel établies par Specializations of finitely generated subgroups of abelian varieties, Prep. Univ. Ann Arbor, 1986).
pour obtenir une version modulaire de [28] (voir :